6.1. Оценка параметров генеральной совокупности по выборке

Статистическая оценка – приближённое значение параметра , найденное по выборке:

Свойства статистических оценок

Несмещённость. Статистическая оценка называется несмещённой, если (не делается систематической ошибки в сторону завышения или занижения)

Состоятельность. Статистическая оценка называется состоятельной, если при увеличении числа опытов оценка приближается (сходится по вероятности) к параметру :

Эффективность. Статистическая оценка называется эффективной, если она обладает наименьшей дисперсией из всех несмещённых оценок параметра , вычисленных по выборкам одинакового объёма:

Точечные оценки математического ожидания, дисперсии и вероятности.

Точечная оценка – оценка , которую используют в качестве приближённого значения параметра

Пусть – выборка, полученная в результате n независимых наблюдений за СВ Х (чтобы подчеркнуть случайный характер, значения выборки обозначаются прописными буквами). Случайные величины можно рассматривать как n одинаково распределенных случайных величин, поэтому все СВ имеют одинаковые М(Х) и дисперсии:

Тогда:

– среднее выборочное есть несмещённая и состоятельная оценка математического ожидания М(Х) генеральной совокупности;

– исправленная выборочная дисперсия есть несмещённая и состоятельная оценка дисперсии D(X) генеральной совокупности.

- относительная частота появления события А в n независимых испытаниях есть несмещённая, состоятельная и эффективная оценка вероятности события А.

Задача 3. Для анализа лингвистических терминологических систем взято 7 фрагментов по 250 терминоупотреблений из русских лингвистических текстов. После подсчёта в каждом фрагменте числа употреблений слова «лицо» получен следующий вариационный ряд: 1,1,3,4,9,10,12.

1. Определите по выборке несмещённую и состоятельную оценку математического ожидания М(Х) и дисперсии D(X) случайной величины Х - «число употреблений слова «лицо» в русских лингвистических текстах.

2. Найдите несмещённую, состоятельную и эффективную оценку вероятности события А= «слово лицо использовано более 5 раз».

_{Решение} 1.Несмещённая и состоятельная оценка М(Х) есть среднее выборочное _.

_{Несмещённая и состоятельная оценка} D(X) есть исправленная выборочная дисперсия:

2. Несмещённой, состоятельной и эффективной оценкой вероятности события А= «слово лицо использовано более 5 раз» является частота этого события: Р(А):

Интервальное оценивание параметров.

Интервал , покрывающий с вероятностью γ истинное значение параметра , называется доверительным интервалом,

где γ - доверительная вероятность или надёжность оценки.

1- γ =α – уровень значимости, вероятность того, что истинное значение параметра окажется вне доверительного интервала.

Ч асто доверительный интервал выбирается симметричным относительно несмещённой оценки параметра _:

Доверительные интервалы для параметров нормального распределения

1. Доверительный интервал для неизвестного М(Х)=а при известной дисперсии

Х~N(a;σ); σ – известна; γ – доверительная вероятность – задана.

- доверительный интервал;

t определяется из равенства , где - функция Лапласа

2. Доверительный интервал для неизвестного М(Х)=а при неизвестной дисперсии

Х~N(a;σ); σ – неизвестна; γ – доверительная вероятность. - доверительный интервал,

где S – исправленное среднее квадратическое отклонение;

- определяется по таблице квантилей распределения Стьюдента, α=1- γ – уровень значимости; k=n-1 – число степеней свободы.

3. Доверительный интервал для неизвестного при неизвестном математическом ожидании М(Х).

Х~N(a;σ); a и σ – неизвестны; γ – доверительная вероятность (задана).

доверительный интервал,

где ;

и находятся по таблице , k =n-1 – число степеней свободы.

4. Доверительный интервал для оценки вероятности успеха при большом числе испытаний Бернулли.