5.2. Статистическое распределение выборки и его графическое изображение

Пусть изучается СВ Х относительно некоторого признака. Проводится ряд независимых испытаний. В результате опытов СВ Х принимает некоторые значения. Совокупность полученных значений представляет собой выборку, а сами значения являются статистическими данными.

Вариационный ряд. Первоначально необходимо упорядочить полученные статистические данные. Операция расположения статистических данных по неубыванию называется ранжированием. В результате ранжирования статистических данных получаем вариационный ряд. Например, при ранжировании выборки 2;4;3;3;4;2;4;2;2;4;4 получаем вариационный ряд: 2;2;2;2;3;3;4;4;4;4;4.

Дискретный статистический ряд. Если генеральная совокупность является дискретной СВ, строится дискретный статистический ряд (статистическое распределение).

Пусть значение появилось в выборке раз, – разa ,…,

– раз, где - i-тая варианта выборки;

- частота i-той варианты – показывает, сколько раз данная варианта появилась в выборке;

– относительная частота i-той варианты – показывает какую часть выборки составляет варианта .

Например, в вариационном ряду 2;2;2;2;3;3;4;4;4;4;4 n=11,

варианта 2 имеет частоту 4, а относительную частоту 4/11;

варианта 3 – частоту 2, а относительную частоту 2/11.

Статистическое распределение – это соответствие между вариантами выборки и их частотами или относительными частотами.

Для ДСВ статистическое распределение можно представить в виде таблицы – статистического ряда частот или статистического ряда относительных частот.

........ ........	........ ........
Статистический ряд частот	Статистический ряд относи тельных частот

Полигон частот (относительных частот) – графическое изображение дискретного статистического ряда - ломаная линия, последовательно соединяющая точки [ для полигона относительных частот].

x _i

Задача 1. Исследуется длина словоупотреблений в прозе Зинаиды Гиппиус. Произвольно выбран отрывок текста длиной 10 слов и подсчитано количество букв. Получены следующие данные: 1;3;2;5;1;8;6;7;7;1. Представить выборку в виде вариационного ряда, построить статистический ряд частот и относительных частот.

Решение. Объём выборки n=10.

Построим вариационный ряд: 1,1,1,2,3,5,6,7,7,8.

Статистическое распределение выборки:

1 2 3 5 6 7 8 3 1 1 1 1 2 1	1 2 3 5 6 7 8 0,3 0,1 0,1 0,1 0,1 0,2 0,1
3+1+1+1+1+2+1=10=n статистический ряд частот	0,3+0,1+0,1+0,1+0,1+0,2+0,1=1 статистический ряд относительных частот

Интервальный статистический ряд

Если генеральная совокупность является непрерывной СВ (значения выборки практически не повторяются, частота практически каждой варианты равна единице), то строится интервальный статистический ряд вида:

			…
			…
			…

где – частота попадания значений выборки в i-тый интервал;

– относительная частота попадания в i-тый интервал.

Оптимальная ширина интервала h определяется по формуле Стерджеса: , начало первого интервала:

Г рафическое изображение интервального статистического ряда –

гистограмма частот или относительных частот.

Гистограмма – совокупность прямоугольников с основанием равным h и высотой / h для гистограммы частот или / h для гистограммы относительных частот.

Задача 2. В ходе исследования длины китайского слога произведено 50 замеров времени звучания слогов, произнесённых дикторами-китайцами, причём длины слогов колеблются от 40 до 300мс, практически не повторяясь:

73	117	40	211	191	129	136	150	167	142	131	243	110	160	128	264	100
178	138	156	210	93	137	149	180	212	141	57	148	198	222	179	127	183
125	106	138	115	123	102	89	153	180	75	125	163	300	218	107	115

Построить интервальный статистический ряд по приведённым данным. Изобразить гистограмму относительных частот полученного распределения.

Решение. 1) Проранжируем полученную выборку. Получим следующий вариационный ряд: 40; 57; 73; 75; 89; 93; 100; 102; 106; 107; 110; 115; 115; 117; 123; 125; 125; 127; 128; 129; 131; 136; 137; 138; 138; 141; 142; 148; 149; 150;153;156; 160; 163; 167; 178; 179; 180; 180; 183; 191; 198; 210; 211; 212; 218; 222; 243; 264; 300.

2) Найдём оптимальную ширину интервалов

3) Определим начало первого интервала

4) Построим интервальный ряд:

	[20;60)	[60;100)	[100;140)	[140;180)	[180;220)	[220;260)	[260;300)	[300;340)
	2	4	19	12	9	2	1	1
	0,04	0,08	0,38	0,24	0,18	0,04	0,02	0,02

5) Найдём высоты прямоугольников, составляющих гистограмму относительных частот: ; ; ; ; ; ;

6) Построим гистограмму:

0,01

0,005

20 60 100 140 180 220 260 300 340 x_i