Оглавление

Введение	5
Часть 1. Конспекты лекций	8
Лекция 1. Комбинаторика. Начальные понятия теории вероятностей	8
Лекция 2. Основные теоремы теории вероятностей случайных событий	20
Лекция 3. Случайная величина	30
Лекция 4. Система двух дискретных случайных величин. Предельные теоремы теории вероятностей	41
Лекция 5. Основы математической статистики.	49
Лекция 6. Элементы теории статистических оценок и проверки гипотез	59
Часть 2. Вопросы и задания для практических работ	74
Практическая работа 1. Элементы комбинаторики. Основные понятия теории вероятностей	74
Практическая работа 2. Основные теоремы теории вероятностей	77
Практическая работа 3. Случайные величины	79
Практическая работа 4 Элементы математической статистики	82
Часть 3. Задания для самостоятельной работы	84
Часть 4. Лабораторные работы	89
Лабораторная работа 1. Первичная обработка лингвистической информации.	89
Лабораторная работа 2. Проверка гипотезы о нормальности распределения глагольных форм в литературных текстах	91
Лабораторная работа 3 Оценка параметров нормально распределённой лингвистической случайной величины по выборке.	95
Лабораторная работа 4. Проверка гипотезы о статистической значимости различия средних частот употребления глаголов	97
Лабораторная работа 5 Корреляционный анализ. Построение модели линейной регрессии лингвистической информации	99
Лабораторная работа 6. Однофакторный дисперсионный анализ. Исследование влияния стиля речи на частоту употребления глагольных форм	101
Список рекомендованной литературы	106
Список использованной литературы	106
Приложение 1. Таблицы математической статистики	108
1.1. Значения интегральной функции Лапласа	108
1.2. Критические значения (распределение Пирсона)	109
1.3. Критические значения критерия t (распределение Стьюдента)	110
1.4. Критические значения F-Фишера (для проверки направленных альтернатив)	111
1.5. Критические значения F-Фишера (для проверки ненаправленных альтернатив)	112
Приложение 2 . Программа учебного модуля «Теория вероятностей и математическая статистика»	113

Введение

Наша жизнь состоит из случайностей. Случайные явления происходят повсюду, в том числе и в филологии. Случайна последовательность букв или фонем в слове, слов в предложении, последовательность предложений в тексте или речи, длина слов и предложений, частота употребления различных частей речи. Случайной является высота звуков человеческой речи и восприятие человеком определённых текстов и т.п. Но среди случайного, и, как кажется, непредсказуемого, наблюдаются закономерности. Эти закономерности, которые присущи массовым случайным явлениям и изучает теория вероятностей.

Теория вероятностей – теоретическая наука, но её положения стали основой «Математической статистики»  раздела математики, который изучает методы обработки и анализа результатов массовых случайных явлений с целью выявления статистических закономерностей. Математическая статистика имеет дело с практическими данными, полученными как результат наблюдений. Две эти науки обычно рассматривают совместно, так как применение математических моделей одной из них невозможно без использования другой.

Теория вероятностей и математическая статистики (ТВ и МС) широко применяются в гуманитарных науках, в том числе и в филологии. Наибольшее применение методы этого раздела математики находят в лингвистических исследованиях, так как именно для лингвистики характерна бо́льшая близость к точным наукам, чем для других дисциплин, традиционно относимых к филологии.

Первоначально математические методы являлись лишь вспомогательным средством лингвистического анализа, но уже в середине XIX – начале XX века стали составлять основу большинства лингвистических исследований. В настоящее время вероятностно-статистические методы применяются в различных видах лингвистического анализа: стилистическом, диахроническом, типологическом, в социолингвистике, психолингвистике, лексикографии и других.

На необходимость использования методов ТВ и МС в языкознании указывают в своих трудах известные лингвисты В.В. Виноградов, Р.Г. Пиотровский, А.В. Гладкий, В.А. Звегинцев, М.В. Панов, Н.Ф. Алефиренко, Б.Н. Головин и другие.

Например, Б.Н. Головин в труде «Язык и статистика» определяет основания вероятностно-статистического изучения языка и речи.

1) Объективная присущность языку количественных признаков, количественных характеристик: анализ всех грамматических категорий устанавливает их относительный функциональный вес в разных стилях литературного языка, соотношения между словами, слогами и фонемами позволяют дать классификацию языков, которую можно использовать и при изучении их истории.

2) Внутренняя зависимость, существующая между качественными и количественными характеристиками языковой структуры: количественные различия на низшем уровне дают качественные различия на высшем уровне: количество фонем в языке отражается на качестве морфем и слов, количество морфем – на качестве слов, количественные характеристики на морфологическом уровне дают о себе знать в качестве синтаксических явлений.

3) Частоты различных элементов подчиняются статистическим законам: полученные опытным путём данные о частотах и вероятностях частей речи, некоторых типов предложений, формах глагола говорят о колебаниях частоты каждого изучавшегося элемента языка около некоторой средней величины, причём колебания эти статистически закономерны. [Головин, 1971, с.11].

«Язык может рассматриваться как структура, элементы которой и функционируют в речи и развиваются, подчиняясь тем или иным вероятностно-статистическим законам». [Головин, 1971, с.16].

Широкое применение методов теории вероятностей и математической статистики в лингвистике стало возможным лишь с применением вычислительной техники. Появление ЭВМ и их способность перерабатывать огромные объёмы информации позволили значительно расширить поле лингвистического исследования.

Применяя математические методы, необходимо иметь в виду, что филологические законы имеют совсем другую природу, чем законы точных наук. Большинство закономерностей гуманитарной сферы, складываясь под действием случайных факторов, проявляются статистически, т.е. оказываются верными не в каждом отдельном случае, а только в среднем, при многократном повторении с одними и теми же данными.

Часть 1. Конспекты лекций

Лекция 1 1.1. Комбинаторика.

Лингвисту часто приходится решать задачи, в которых требуется из конечного множества лингвистических элементов по заданным правилам составлять различные комбинации и производить подсчёт таких комбинаций. Например, «синтаксисту важно знать, сколько позиционных вариантов может давать в устно-разговорной речи предложение “Сегодня идёт дождь”, фонетисту - сколько, двух- и трёхбуквенных комбинаций может дать русский алфавит» (Пиотровский, 1977, с. 110). Задачи такого вида называются комбинаторными, а раздел математики, в котором решают такие задачи – комбинаторикой.

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о числе различных подмножеств (комбинаций), подчинённых тем или иным условиям, которые можно составить из элементов конечного множества.

Комбинаторика широко применяется на практике, в том числе и в языкознании. По словам В.М. Солнцева “способность к комбинаторике есть общее и обязательное свойство единиц языка, обусловленное общесистемными фундаментальными свойствами единиц языка – дискретностью и неоднородностью” (Солнцев, 1977, с. 268).

Комбинаторика связана с другими разделами математики, в том числе с теорией вероятностей, имеет широкий спектр применения в различных областях знаний.

Основоположником современной комбинаторики считается Г. Лейбниц, который ввёл термин «комбинаторика» в математический обиход в 1666 году, опубликовав свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве». Наряду с Готфридом Лейбницем, большой вклад в развитии комбинаторики, как науки, внесли Блез Паскаль и Якоб Бернулли. Окончательно комбинаторика как самостоятельный раздел математики оформилась в трудах Эйлера.

Правила комбинаторики

Многие задачи комбинаторики решаются с помощью двух основных правил: правила сложения и правила умножения.

Правило сложения. Пусть элемент А можно выбрать способами, элемент В – другими способами. Тогда элемент А или В можно выбрать способами.

Пример. На первой полке 10 книг, а на второй 12. Сколькими способами можно выбрать книгу с одной из этих полок?

Так как книгу с первой полки (элемент А) можно выбрать 10 способами, а книгу со второй (полки элемент В) – 12 способами, то книгу с первой или второй полки (элемент А или В) можно выбрать 10+12=22 способами.

Правило умножения. Пусть элемент А можно выбрать способами, при каждом выборе А элемент В можно выбрать способами,

Тогда элемент А и В можно выбрать способами.

Пример. Сколько слов можно получить, если для корня «изб» выбирается один из 3 суффиксов: «ушк», «ёнк», «ушечк», и одно из двух окончаний: «а», «и».

Есть 3 способа выбора суффикса и 2 способа выбора окончания, поэтому суффикс и окончание можно выбрать 3 2=6 способами, т.е. получится 6 слов.

Правила верны и для большего числа элементов.

Основные понятия комбинаторики

Размещение из n элементов по m (m≤ n) – упорядоченное (важен порядок расположения элементов) подмножество из m элементов множества, которое содержит n различных элементов. Все m элементов размещения различны.

Например, все размещения из 3 элементов множества {A,B,M} по 2 составляют следующее множество:

{{A,B},{A,M},{B,M},{B,A}, {M,A}, {M,B}}.

Два размещения отличаются составом или порядком расположения элементов.

В комбинаторных задачах нас интересуют не сами размещения, а их количество.

Число размещений из n элементов по m обозначается и находится по формуле: ,

где n! (n-факториал) – произведение n первых натуральных чисел:

1! =1; 2!=1 2=2; 3!= 1 2 3=6; 4!= 1 2 3 4=24;

n!= 1 2 3 … n (при n>2) 0!=1

Пример. Имеется алфавит из 20 букв. Сколько можно составить трёхбуквенных «слов», если буквы в «слове» не повторяются?

Так как при составлении слова важен порядок расположения букв, то для решения задачи найдём число размещений из 20 по 3:

Перестановка из n элементов – это размещение из n различных элементов по n. Чтобы получить разные перестановки выбирают все n элементов множества и меняют их местами.

Например, все перестановки из 3 элементов множества {f; p;q} составляют следующее множество: {{f;p;q}, {f;q;p}, {p;q;f}, { p;f;q}, {q;f;p}, {q;p;f}}.

Две перестановки отличаются только порядком расположения элементов

Число перестановок из n элементов обозначается и определяется по формуле:

Пример. Сколько предложений можно составить из 4 слов: «увы», «сегодня», «идёт», «дождь»?

Так как для составления предложений берут все заданные слова и меняют их местами, то полученные предложения – перестановки из 4 элементов. Число предложений

Сочетание из n элементов по m (m≤ n) - неупорядоченное подмножество из m элементов, множества, которое содержит n различных элементов. Все m элементов сочетания различны.

Например, все сочетания из 4 элементов множества{A,B,M} по 2

составляют следующее множество: {{A,B},{A,M},{B,M}}

Два сочетания отличаются только составом элементов.

Число сочетаний из n элементов по m обозначается и находится по формуле:

Пример. Из 10 гостей выбирают 2 для участия в конкурсе. Сколько имеется способов выбора?

При выборе 2 гостей не важен порядок их выбора, поэтому находим число сочетаний из 10 по 2:

Число перестановок, размещений, сочетаний с повторениями (для тех случаев, когда среди образующих элементов есть одинаковые)

Число перестановок из n элементов с повторениями, где ni - количество одинаковых элементов в i – той группе: .

Пример. Найти количество комбинаций, которые можно составить из букв слова «математика».

Так как в слове «математика» буквы повторяются (м-2 раза, а-3 раза, т-2 раза), то полученные буквосочетания являются перестановками с повторением.

;

Число размещений из n элементов по m с повторениями:

Пример. Сколько можно составить 2-буквенных комбинаций для денежных знаков из 30 букв русского алфавита ( без ъ, й, ь)?

Так как буквы в серии денежных знаков могут повторяться, то это размещения с повторениями:

Число сочетаний из n элементов по m с повторениями

Пример. В некотором языке имеются 2 типа фонем: гласные и согласные, причём слово может быть образовано из одних гласных, из одних согласных, а также из гласных и согласных. Необходимо определить, сколькими способами можно составить 3-фонемное слово [22].

Так как выбираются 3 фонемы из 2 типов, причём типы фонем в слове могут повторяться, то число способов составления 3-фонемного слова

Эти способы можно перечислить: слово состоит из одних гласных, из одних согласных, из двух гласных и одной согласной и из одной гласной и двух согласных.