3.5 Визначення передавальних функцій системи

Для визначення передавальних функцій системи необхідно:

– скласти структурну схему САК;

– за правилами перетворення структурних схем записати передавальні функції розімкнутої, замкнутої САК, та передавальну функцію помилки.

Добуток коефіцієнтів підсилення елементів розімкнутої системи слід позначити як k_V – коефіцієнт підсилення розімкнутої САК. Якщо розмірність вхідного й вихідного сиґналів однакова, розмірність k_V дорівнює [1/с], тому його називають коефіцієнтом підсилення розімкнутої системи за швидкістю;

Наприклад, для слідкуючої системи із сельсинним вимірювальним пристроєм (рис. 1.1) маємо:

– для розімкнутої САК вхідною величиною є кут розузгодження (t), а вихідною – кут (t) вала робочого механізму. Коефіцієнт підсилення розімкнутої САК: k_V = К_ К_ФД К_ЕМП К_Д К_РЕД; передавальна функція розімкнутої САК: W(s) = (s)/(s);

– для замкнутої САК вхідною величиною є кут повороту вхідного вала (t), а вихідною – кут (t). У замкнутому стані величина (t) є розузгодженням, що дорівнює різниці між вхідною й вихідною величинами (t) = (t) - (t). Тому передавальна функція замкнутої САК: W_З (s) = (s)/ (s)= W(s)/(1+ W(s));

– помилка (t) характеризує точність відтворювання слідкуючою системою вхідної величини – кута повороту (t). Передавальна функція помилки: Е(s) = (s)/ (s) = 1/(1+ W(s)).

Робота з цього пункту повинна містити передавальні функції розімкнутої й замкнутої САК і передавальну функцію помилки.

3.6 Дослідження сак на астатизм

Дослідити систему на астатизм можна різними методами. Один з них ґрунтується на аналізі диференціального рівняння помилки в двох режимах: статичному (усталеному режимі при постійному вхідному впливі) і динамічному усталеному (усталеному режимі при вхідному впливі, що змінюється за лінійним законом: х = кt). Залежно від того, дорівнює чи ні нулю помилка реґулювання (t) у цих режимах, роблять висновок, є система статичною чи астатичною і якого порядку астатизм системи.

Відповідно до другого методу необхідно обчислити значення молодших коефіцієнтів помилок С₀, С₁ і зробити висновки щодо астатизму системи. Слід пам’ятати, що коефіцієнти помилок визначають за передавальною функцією помилки Е(s) та її похідними:

С₀ = Е(s)|_S=0; C₁ = dE(s)/ds|_S=0 . (1.1)

7. Дослідження стійкості системи

У цьому пункті роботи необхідно дослідити стійкість САК за критерієм Гурвіца, Найквіста та за логарифмічними частотними характеристиками розімкнутої САК.

Критерій стійкості Гурвіца.

Для застосування критерію стійкості Гурвіца необхідно записати характеристичне рівняння замкнутої САК. Якщо відома передавальна функція замкнутої системи W_З(s) або передавальна функція помилки E(s), необхідно дорівняти до нуля знаменник будь-якої з цих передавальних функцій і отримати характеристичне рівняння. З коефіцієнтів цього рівняння складається визначник Гурвіца, за яким досліджується стійкість системи.

Приклади застосування критерію Гурвіца наведені в роботах [1, с. 131]; [2, с. 114]; [3, с. 264]; [8, п. 3.4].

Критерій стійкості Найквіста.

Критерій Найквіста дозволяє судити про стійкість замкнутої САК за виглядом амплітудно-фазової частотної характеристики (АФЧХ) розімкнутої системи.

Розглянемо застосування цього критерію для дослідження стійкості САУ, структурна схема якої наведена на рис. 1.2. Передавальну функцію розімкнутої системи можна подати у вигляді добутку передавальних функцій типових динамічних ланок: інтегруючої ланки з передавальною функцією W₁(s)=K_V/s; аперіодичної ланки з передавальною функцією W₂(s)=1/(T_Ks+1); коливальної ланки з передавальною функцією W₃(s)=1/(T²s²+2Ts+1).

Отримуємо W(s)= W₁(s)W₂(s)W₃(s); W(j)= W₁(j)W₂(j)W₃(j).

У цьому випадку розрахунок АФЧХ можна виконувати по ланках: для конкретного значення частоти  визначити за відомими формулами модуль А() і арґумент () кожної ланки. Модуль і арґумент усієї системи визначають як добуток модулів окремих ланок і суму їх арґументів відповідно:

А() =  А_і(); () = _і(). (1.2)

Аналогічно виконують розрахунок для інших значень частоти, кількість яких можна взяти 10-15. Увесь розрахунок доцільно звести до таблиці. Наведеному прикладу відповідає таблиця 1.1.

За даними таблиці будують АФЧХ розімкнутої САК і досліджують її стійкість за критерієм Найквіста. У разі стійкої САК необхідно визначити запаси стійкості за амплітудою і фазою.

Приклади застосування критерію Найквіста наведено в роботах [1, с. 145-153]; [2, с. 122-128], [8, п. 3.4].

Таблиця 1.1 – Розрахунок АФЧХ розімкнутої САК

Ланки		Частота , с-1
		0	2	5	10	15	20	50	80	100	150	200	250
W1(j)=KV/j	А1()
	1()
W2(j)=1/(TKj+1)	А2()
	2()
W3(j)=1/(1-T22 +2Tj)	А3()
	3()
А() = А1()А2()А3()
() = 1()+2()+3()

Дослідження стійкості за логарифмічними характеристиками.

Для дослідження стійкості САК за логарифмічними частотними характеристиками необхідно побудувати логарифмічні амплітудну частотну (ЛАЧХ) і фазову частотну (ЛФЧХ) характеристики розімкнутої системи. Ці характеристики доцільно будувати на міліметровому папері в одній системі координат. Правила побудови асимптотичних ЛАЧХ наведено [8, п.2.7]. Розрахунок ЛФЧХ виконують по ланках, як у таблиці 1.1.

За ЛАЧХ і ЛФЧХ досліджують стійкість системи і в разі стійкої САК визначають запаси стійкості за амплітудою і фазою.

Побудувати логарифмічні частотні характеристики і дослідити стійкість системи можна за допомогою пакета Matlab [8, приклад 2.9].

Приклади побудови логарифмічних частотних характеристик і дослідження за ними стійкості системи наведені в роботах [1, с. 79-84, 153-154]; [2, с. 129-132], [3, с. 276-284], [8, п. 3.4].

Робота з цього пункту має містити:

– характеристичне рівняння замкнутої САК, записане у загальному вигляді й з числовими значеннями коефіцієнтів;

– визначник Гурвіца, складений з коефіцієнтів, результати обчислень і висновки щодо стійкості системи;

– результати розрахунків частотних характеристик, самі характеристики, схему моделі (якщо використовувався пакет Matlab), висновки щодо стійкості системи і визначені запаси стійкості (в разі стійкої системи).