Колебательные движения

Во многих физических явлениях наблюдаются колебательные движения, или колебания. Колебание - это ограниченные движения, которые повторяются, или почти повторяются, относительно некоторого среднего состояния. Это состояние в отдельных случаях может быть состоянием равновесия. Характерной особенностью всех колебательных движений есть их периодичность, т.е. регулярная повторяемость через определенные одинаковые промежутки времени, которые называют периодом колебания.

В зависимости от физической природы величины, которая испытывает периодические изменения, различают колебания механические, электромагнитные, и др. Но математические методы их изучения являются общими. Математически одинаково описывается движение маятника настенных часов, движение атомов и ионов в твердом теле возле узлов кристаллической решетки. Подавляющее большинство акустических, электромагнитных и оптических явлений неразрывно связанно с колебательными движениями.

Колебательные системы, в которых параметры со временем не изменяются, называют линейными. Колебательные процессы в таких системах достаточно изучены и их математическая теория полностью развита. Колебательные системы, параметры которых зависят от состояния системы, называют нелинейными.

Простейшими среди колебательных движений есть гармоничные колебания, при которых физическая величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Гармоничные колебания важны тем, что все колебания, которые встречаются в природе и технике, с довольно добрым приближением описываются синусоидальным законом. Даже тогда, когда колебания происходят несинусоидально, их можно представить как результаты наложения нескольких гармоничных колебаний.

Общий подход к изучению колебательных процессов был впервые сформулирован Л.И.Мандельштамом. Фундаментальный вклад у изучение колебаний внесли Ж.Лагранж, А.Пуанкаре, Дж.Максвелл, Г.Герц., А.М.Ляпунов, О.М.Крылов, А.А.Андронов, Г.С.Горелик, М.В.Келдыш и др.

РАБОТА №12

Изучение физического маятника и определение ускорения силы тяготения

Физическим маятником называют тело, способное осуществлять колебание вокруг недвижимой точки, которая не совпадает с его центром массы (рис.1). Отсюда вытекает, что в положении равновесия физического маятника его центр масс С находится на вертикали с точкой подвеса О, но ниже от нее. При отклонении маятника от положения равновесия на угол возникает вращательный момент М силы тяготения, плечо которой . Он старается возвратить маятник в положение равновесия. Если действием моментов сил трения пренебречь, то из основного уравнения динамики вращательного движения достанем

, (1)

где I – момент инерции тела относительно горизонтальной оси, которая проходит через точку О (ось перпендикулярная к площади рисунка), m – масса маятника; знак минус указывает на то, что момент силы тяготения старается возвратить маятник к положению равновесия, а угол отклонения отсчитывается в противоположном направлении. Для малых углов отклонения и уравнение (1) приобретает вид

, (2)

или

. (3)

Величина имеет размерность частоты в квадрате. Тогда период колебаний

. (4)

Величина имеет размерность длины, т.е.

. (5)

Величину называют приведенной длиной физического маятника. Очевидно, математический маятник будет иметь такой же период колебаний, как и физический маятник, по условиям, которые его длина равняется приведенной длине физического маятника.

Точку , которая находится на линии ОС на расстоянии l от точки подвеса О, называют точкой колебаний, или центром колебаний физического маятника. Если в этой точке подвесить физический маятник, то его период колебаний не изменится. В самом деле, если является точкой подвеса маятника, то его новая приведенная длина

,

где – момент инерции маятника относительно оси, которая проходит через точку . За теоремой Гюйгенса - Штейнера момент инерции маятника

, а ,

где – момент инерции маятника относительно параллельной оси, которая проходит через его центр масс. Тогда

, а .

Из рис.1 видно, что

, то ; .

Из равенств приведенных длин вытекает равенство периодов колебаний относительно осей, которые проходят через сопряженные точки и . Это свойство физического маятника разрешает определить положение сопряжених точек и найти приведенную длину физического маятника исследовательским путем. Исследовательским путем можно определить период колебаний маятника и найти g. Для этого в (4) подставим (5) и найдем

. (6)

О писание установки и методики измерений.

В физическом маятнике можно сделать передвижни опорные призмы, или изменять положение отдельных его частей. Если центр качания будет при этом расположенный в пределах тела, то можно достичь такого положения, что маятник будет оборотным, т.е. выбранные его две точки опоры станут сопряженными.

Оборотные маятники изготовляют разных конструкций. В данной задаче применяют оборотный маятник, который изображен на рис.2. Он состоит из однородного стержня, на котором есть шкала и передвижные опорные призмы П и грузы Г₁ и Г₂, которые могут закрепляться в любом месте стержня.

Перед началом измерений необходимо выбрать такие условия опыта, чтобы точность измерений была наибольшей. Проведены такие оценки. Для этого перепишем (4) в виде

. (7)

Г рафическая зависимость периода колебаний Т от расстояния а изображена на рис.3. С цьогo графика видно, что при приближении точки подвеса к центру масс С (а₁ 0) период колебаний Т стремится к бесконечности, т.е. движение становится непериодическим. Период возрастает также при отдалении точки подвеса от центра масс маятника. При некотором определенном значении расстояния а период колебаний является минимальным (Т_min). Если период колебаний отличается от Т_min, то, как видно из рис.3, одно и тоже значение Т достигается при двух разных значениях а. Если поместить точку подвеса на расстоянии а₁ от центра тяготения, то центр качания будет находиться на расстоянии а_2. Эти значения а₁ и а₂ и необходимо найти опытным путем, чтобы вычислить g, так как в этом случае является приведенной длиной. Но тяжело достичь совпадения периодов прямого и обратного маятника. Они будут отличаться на какое-то значение . Тогда

, а ,

и, если пренебречь , то

. (8)

Если разложить это выражение в ряд по степеням и ограничиться членами первого порядка, то

.

Если периоды Т₁ и Т₂ полностью совпадают, то (8) переходит в (6). Учитывая (8) и (6), получим для относительной погрешности, обусловленной тем, что периоды Т₁ и Т₂ не совпадают:

. (9)

Из (9) видим, что погрешность неограниченно возрастает, если ,т.е., если Т Т_min. Поэтому условия опыта должны быть такими, чтобы а₁ и а₂ отличались на полную величину. Хороший результат обеспечивают измерения, если

.

Предыдущие исследования позволяют всегда расположить призмы и грузы так, чтобы выполнялось это условие. Для этого у маятника, который применяется в нашей лаборатории, следует разместить:

1) призмы П на 5-м и 85-м делениях;

2) груз Г₂ в интервале от 30-го и до 60-го деления шкалы;

3) груз Г₁ на 91-м делению.

Чтобы найти приведенную длину маятника, будем изменять его момент инерции I относительно точки подвеса до тех пор пока точки, в которых закрепленны призмы П, станут сопряженными. Это состояние можно достичь определенным расположением груза. Для этого груз Г₁ следует передвигать в интервале от 91-го до 115-го деления стержня и через каждые 3 см определять период колебаний маятника. Эти определения надо повторять трижды при это необходимо наблюдать 25 полных колебаний. Полученные средние значения периодов нанесите на график в зависимости от положения груза Г_1. На оси абцис отложите деления шкалы стержня маятника, а на оси ординат – величины периодов колебаний. После этого переверните маятник и придавайте ему колебания на второй опорной призме П. Снова передвигайте груз Г₁ на 3см в интервале от 115-го до 91-го деления и каждый раз определяйте период колебаний маятника. Эти значения периодов нанесите на график. Точка сечения кривых определит положение груза Г_1, при котором периоды колебаний маятника Т₁ и Т₂ в прямом и перевернутом положениях наиболее близки друг к другу.

Груз Г₁ закрепите в положении, которое отвечает точке сечения кривых и определите время 100 полных колебаний не меньше трех раз в прямом положении маятника и так же определите период 100 колебаний повторенных три раза для перевернутого маятника. Если периоды Т₁ и Т₂ для прямого и обратного маятника не отличаются больше чем на 0,003, то для вычисления ускорения свободного падения g пользуются формулой (6). При расхождении Т₁ и Т₂ на большую величину для расчета g пользуются формулой (8), или формулой Бесселя:

, (10)

Чтобы определить величины а₁ и а₂, надо маятник снять с консоли, осторожно положить его на подставку с острой гранью и уравновесить. Расстояние от точки маятника, который находится на грани, до опорных призм дают величины а₁ и а_2. Измерения а₁ и а₂ выполняют с помощью масштабной линейки с точностью до одного миллиметра. По результатам измерений вычисляют ускорение силы тяготения и оценивают точность эксперимента.

Контрольные вопросы

1. Какое движение носит название колебательного ?

2. Определить состояние механического равновесия. Какими являются условия пребывания механической системы в состоянии равновесия? Какое равновесие является устойчивым, а какое - неустойчивым? При каких условиях в механической системе может возникнуть колебательное движение?

3. Какие колебания назваются свободными, или собственными? От чего зависит частота собственных колебаний?

4. Какие колебания называют гармоничными? Что такое фаза гармоничных колебаний и что она характеризует? Как связанны между собой фазы, координаты, скорости и ускорение тела, которое осуществляет гармоничные колебания? От чего зависят амплитуда, частота и начальная фаза гармоничных колебаний?

5. Какую систему называют математическим маятником? Какими параметрами определяется период колебаний математического маятника. Опишите колебание математического маятника. Постройте схематические графики зависимости ускорения, скорости и координаты от времени.

6. Дайте определение физического маятника. Что называется приведенной длиной физического маятника и его центром колебаний. Какие точки маятника являются сопряженными?

7. Какие есть методы нахождения приведенной длины физического маятника? Какая связь существует между ускорением свободного падения и приведенной длиной и периодом колебаний физического маятника. Почему ускорение свободного падения в разных широтах разное?