Лабораторная работа №10 Изучение динамики плоского движения с помощью маятнике Максвелла

В общем случае положения твердого тела в пространстве можно определить, задав любые три точки этого тела, которые не лежат на одной прямой. Положение каждой из выбранных точек тела относительно некоторой системы отсчета определяется 3-мя координатами Таким образом, общее число координат, которые описывают положение твердого тела, равняется 9. Однако, не все из этих девяти координат будут независимыми. Так как в твердом теле расстояние между любыми произвольными точками тела в процессе его движения не меняется, то независимых параметров останется шесть. Действительно, положение двух точек в пространстве характеризуется 6-ю координатами: для одной точки и ‑ для другой. Если между этими точками существует твердая связь, например, они соединены между собой стрежнем длиной , то каждая из координат может быть найдена из очевидного соотношения

Это означает, что независимых переменных (или степеней свободы), описывающих положение такой системы в пространстве будет всего 5, т.е. любая связь уменьшает число степеней свободы на единицу.

Таким образом, твердое тело имеет 6 степеней свободы. Эти шесть независимых параметров можно задавать различными способом в зависимости от обстоятельств.

Рис.1.

Движение твердого тела в пространстве удобно разложить на слагаемые для того, чтобы 3 из 6 параметров описывали поступательное движение тела, а другие 3 ‑ ориентацию тела в пространстве. Для этого достаточно связать жестко с произвольной точкой тела ОБ^ декартову систему координат .

Ориентирование в пространстве этой системы координат, а значит и твердого тела, относительно инерциальной системы отсчета , в которой рассматривается движение тела, полностью определяется углами Эйлера (рис. 1). Эти углы фиксируются таким образом: выбирается линия узлов ОА – линия сечения плоскостей и . Тогда указанные на рисунке углы (угол собственного вращения, угол прецессии, угол нутации), являются независимыми переменными и полностью определяют ориентацию твердого тела в пространстве. Изменение ориентации твердого тела полностью описывается заданием 3-х функций

Положение точки твердого тела , с которой связана система координат задается радиус-вектором этой точки относительно инерциальной системы координат или же декартовыми координатами .

Итак, положение твердого тела как системы с шестью степенями свободы описывается шестью параметрами , . Скорость каждой точки тела состоит из поступательного движения со скоростью точки твердого тела О и вращательного движения с мгновенной угловой скоростью вокруг оси, которая проходит через точку О и выражается формулой

,

где ‑ радиус-вектор произвольной точки твердого тела в системе .

Для анализа движения твердого тела, а также условий равновесия необходимо решить систему уравнений движения

(1)

(2)

Первое уравнение – уравнение движения центра масс тела, второе – уравнение моментов. Для твердого тела эти уравнения являются замкнутой системой, т.е. с их помощью можно полностью определить движение твердого тела в заданных внешних полях, если известны начальные условия. Действительно, для шести неизвестных координат , есть шесть скалярных уравнений (1), (2).

Интересным видом движения является плоское движение, при котором траектории всех точек тела лежат в параллельных плоскостях. Примером плоского движения может служить скатывание шара, цилиндра, обруча по наклонной плоскости. Движение тела в этом случае полностью определяется движением одного из его сечений в какой-нибудь из параллельных плоскостей. Поскольку положение сечения в плоскости определяется заданием координат двух произвольных точек сечения, то при плоском движении тела имеется 3 степени свободы. Уравнения движения (1) и (2) для плоского движения приобретают следующий вид:

(1)

(2)

З десь  и  ‑ проекция векторов и на ось, перпендикулярную плоскости сечения, т.е. и при плоском движении не меняют своего направления.

М

Рис.2

аятник Максвелла представляет собой однородный металлический диск (1), в середине которого укреплен стержень (2). К концам этого стержня прикреплены две крепкие нити, которые тщательно (виток к витку) наматываются на стержень от концов до диска. При освобождении маятника он начинает движение: поступательный вниз и вращательный вокруг оси симметрии, т.е. совершает плоское движение. Центр масс системы будет двигаться вдоль оси : вектор угловой скорости будет всегда перпендикулярен плоскости диска. Поэтому уравнение движения (1^) и (2^) можно записать в виде:

(3)

(4)

(5)

где - радиус стрежня, - момент инерции системы относительно оси вращения, - сила натяжения нитей.

Для анализа движения маятника систему (3)-(5) удобно решить относительно ускорения и силы натяжения . После нескладных преобразований получаем:

(6)

(7)

По всей видимости, ускорение диска тем меньше, чем больше момент инерции системы . В предельном случае при  ускорение диска , а сила натяжения . В этом случае диск будет просто неподвижно висеть на нитях. При 0 сила натяжения , т.е. диск будет свободно падать и потому нити не испытают никакого натяжения. Уравнения (3) и (4) не описывают поведение маятника в нижний мертвой точке, когда происходит перебрасывание нитей с одной стороны стержня на другую. Диск будет продолжать вращаться в прежнем направлении, но нити будут уже наматываться на стержень, так что диск придет в движение вверх, пока его кинетическая энергия не превратиться в потенциальную. Следует отметить, что в нижний мертвой точке происходит изменение направления скорости на обратную. Поэтому в этот момент центр масс маятника испытает большее ускорение, что приводит к большому натяжению нитей.

В предлагаемой работе необходимо экспериментально определить зависимость силы натяжения нитей от величины момента инерции системы, воспользовавшись выражением (7). Экспериментальная установка дает возможность изменять момент инерции маятника путем насадки на диск (1) колец, которые имеют разную массу. Для определения момента инерции системы преобразуем выражение (6) к виду

.

Чтобы экспериментально определить момент инерции маятника , необходимо определить массу системы и ускорение поступательного движения . Ускорение системы легко определить из выражения , где - расстояние, которое проходит центр масс маятника; - время движения. Тогда последнее выражение можно переписать

(8)

Таким образом, для определения момента инерции системы необходимо определить ее массу , измерить радиус стержня и зафиксировать время движения центра масс системы с известной высоты .

Определив момент инерции системы, из выражения (7) легко рассчитать силу натяжения нити . Проведя эксперименты с кольцами разной массы по результатам опытов строят зависимость .

Установка позволяет также определить экспериментально моменты инерции использованных в опытах колец. Действительно, измерив время движения маятника с высоты , по формуле (8) можно рассчитать момент инерции маятника .

(9)

Надев на маятник кольцо массой , и повторив опыт, найдем момент инерции системы маятник-кольцо:

(10)

Тогда, в силу аддитивности, момент инерции кольца будет равен . Отметим, что в опытах высоты и могут немного отличаться одна от одной в силу специфики установки.

Порядок выполнения работы.

1. Измерить штангенциркулем диаметр стержня маятника.

2. Зафиксировать положение центра масс маятника по линейке (3) рис. 2. в верхнем и нижнем положениях маятника и определить путь , который проходит центр масс.

3. Поднять маятник в крайнее верхнее положение, наматывая нити виток к витку на стержень и закрепить маятник.

4. Нажать кнопку "Пуск" пульта управления, при этом маятник начинает свое движение и автоматически включается таймер.

5. При прохождении маятником своего нижнего положения таймер автоматически выключается, и на табло пульта управления высвечивается время движения.

6. Нажав кнопку "Сбрасывание", повторить опыт не менее 5 раз.

7. Рассчитать момент инерции маятника и силу натяжения нити по формулам (9) и (7).

8. Провести эксперименты с разными кольцами, надевая их на диск маятника, в соответстсвии с пунктами 1-7.

9. Результаты экспериментов представить графически в виде зависимости .

10. Определить моменты инерции колец, используя выражения (9) и (10). Сравнить с расчетом по формуле .

11. Определить погрешности прямых и косвенных измерений.

Контрольные вопросы, задачи

1. Какие параметры определяют положение твердого тела в пространстве? Как определить скорость произвольной точки тела при плоском движении?

2. Является ли система уравнений (1) и (2) замкнутой?

3. Сколько степеней свободы имеет тело, которое осуществляет плоское движение?

4. Выведите соотношения (6) и (7).

5. Определите скорости точек на ободе кольца, лежащих на концах перпендикулярных диаметров в произвольный момент времени.