Лабораторная работа № 11 Изучение движения гироскопа

Цель работы: ознакомление с особенностями движения гироскопа. Измерение угловой скорости прецессии.

Теоретический материал.

Вращательное движение твердого тела. Момент силы. Момент инерции. Момент импульса твердого тела относительно оси. Уравнение моментов. Мгновенные оси вращения. Главные оси и главные моменты инерции, их физическое содержание. Гироскопы и их применение. Прецессия гироскопа. Свободный гироскоп и гироскоп на вращающемся диске. Физический пример прецессии.

Э лементарные сведения о гироскопах

Рис.1.

Гироскопом называется осесимметрическое тело, которое быстро вращается вокруг оси симметрии. При таком вращении вектор момента импульса , равно как и вектор угловой скорости , будет направлен вдоль оси тела. Это понятно из соображений симметрии: в силу осесимметричности движения нет никакого преобладающего направления, куда бы мог быть направлен вектор .

Ч

Рис.2.

тобы ось фигуры гироскопа могла свободно проворачиваться в пространстве, гироскоп обычно помещают в так называемый карданов подвес (рис. 1). Маховик гироскопа 1 закрепляется на концах диаметра внутреннего кольца 2 (ось СС). Внутреннее кольцо, в свою очередь, может вращаться вокруг перпендикулярной оси BB, которая проходит через подшипники на концах диаметра внешнего кольца. Наконец, внешнее кольцо 3 может оборачиваться вокруг третьей оси АА, проходящей через неподвижный подшипник подставки. Все три взаимно перпендикулярные оси пересекаются в одной точке, которая называется центром карданового подвеса. Гироскоп в кардановом подвесе имеет три степени свободы и может делать любые повороты вокруг центра подвеса и будет уравновешен, если центр его масс совпадает с центром подвеса. До тех пор, пока на гироскоп не действуют никакие внешние силы, его ось будет сохранять свое направление в пространстве в силу закона сохранения момента импульса. Направление (как и величина) вектора остается неизменным. Чтобы изменить направление оси гироскопа, необходимо на него подействовать моментом внешних сил. При этом наблюдается противоестественное, на первый взгляд, вращение гироскопа, названное гироскопическим эффектом. Под действием пары сил и (рис. 2), которые казалось бы, должны были вызвать поворот оси гироскопа ОО вокруг прямой ОБОБ ось гироскопа вращается вокруг прямой ОБОБ (оси ОО, ОБОБ и ОБОБ взаимно перпендикулярны). Этот эффект объясняется законами динамики вращательного движения. Момент пары сил в соответствии с определением направлен вдоль прямой ОБОБ. За время момент импульса , получит приращение

, (1)

т.е. параллельно . Итак, через время момент импульса примет значение

.

Н

Рис.3.

аправление вектора задает новое положение оси вращения гироскопа и, как легко видеть из рис. 2, ось обернулась вокруг прямой ОБОБ так, что угол, между векторами и уменьшился. Если действовать на гироскоп продолжительное время внешними силами, которые имеют постоянный по направлению момент , ось гироскопа установится, в конечном итоге, в направлении, которое совпадает с вектором . Это явление положено в основу работы гироскопического компаса.

До сих пор мы рассматривали простое движение гироскопа вокруг оси симметрии. Реальный гироскоп, как правило, принимает участие в более сложном движении, при котором вектор момента импульса может не совпадать с вектором угловой скорости . Рассмотрим частный случай движения тела, у которого закреплена одна точка (т. ОБ, рис. 3). Положим, что гироскоп вращается с угловой скоростью вокруг оси ОО и одновременно ось ОО вращается вокруг оси ОО с угловой скоростью . Это движение можно заменить вращением с угловой скоростью вокруг мгновенной оси, положение которой определяется вектором . Компоненты момента импульса , которыми владеет гироскоп при вращении осей ОО и ОО, определяются соотношениями:

; ,

где и - моменты инерции относительно осей ОО и ОО^. Тогда вектор будет равен

.

Легко заметить, что при  векторы и не совпадают по направлению.

К аналогичному результату можно прийти, если рассмотреть вращение гироскопа вокруг мгновенной оси, которая не совпадает с осью симметрии (см. рис. 4). В этом случае можно разложить вектор на две составляющие: направленную вдоль оси фигуры гироскопа и перпендикулярную к ней . В результате получаем:

, (2)

где и - моменты инерции относительно указанных осей. (Очевидно, что направление и совпадают лишь в том случае, когда = ).

В основе теории гироскопов лежит уравнение динамики вращательного движения:

. (3)

Если момент внешних сил равняется нулю, гироскоп называется свободным. Для свободного гироскопа:

= (4)

Из уравнения (4) с учетом того, что моменты инерции и не меняются (отсутствуют деформации), следует сохранение во времени компонент и вектора :

Таким образом, кинетическая энергия вращательного движения гироскопа равно

(5)

Совокупность уравнений (3)-(5) позволяет объяснить характер движения гироскопа.

У

Рис.5.

стойчивость движения быстро вращающегося гироскопа легко объяснить, исходя из уравнение (3). Действительно, если гироскоп с большим моментом инерции привести в быстрое вращение, то он будет иметь большой момент импульса. Увеличение момента за время определяется формулой (3):

.

При кратковременных влияниях даже больших сил величина , и направление оси гироскопа практически не изменяется. Гироскоп как бы сопротивляется всяким попыткам изменить величину и направление его момента импульса.

Интересно проявляет себя гироскоп при действии на него внешних сил, момент которых остается постоянным по величине и перпендикулярным к оси обращения. В этом случае наблюдается так называемая вынужденная прецессия гироскопа. Рассмотрим гироскоп, изображенный на рис. 5. Он состоит из маховика 1 и электромотора 2, расположенных на одной оси. Гироскоп устроен так, что он может свободно вращаться вокруг оси симметрии, а также вокруг горизонтальной и вертикальной осей. Приложим к какой-нибудь точке оси гироскопа (т. А) постоянную силу . Если маховик не поворачивается, наблюдается обычное явление: под действием груза P маховик опустится. Однако движение приобретает совсем другой характер, если маховик привести с помощью электромотора в быстрое вращение. В этом случае ось фигуры несбалансированного гироскопа начнет вращаться вокруг вертикальной оси (вынужденная прецессия). Последняя легко объясняется приближенной теорией, в которой предполагается, что угловые скорости возможных движений много меньше угловой скорости вращения гироскопа вокруг оси симметрии. Иначе говоря, в формуле (2) следует учитывать лишь первый член:

(6)

В таком приближении векторы и параллельны (рис. 4). Поскольку момент силы перпендикулярен оси вращения, а, значит, и к , он не изменяет величину момента импульса, а только изменяет его направление. Итак, если внешняя сила постоянна, то вектор , а с ним и ось гироскопа, должны осуществлять равномерное вращение вокруг вертикальной оси.

Направление и величину угловой скорости прецессии легко найти из следующих соображений. Введем единичный вектор , направленный вдоль оси гироскопа. Длину отрезка ОА обозначим буквой . Тогда момент силы будет равняется:

, так как (7)

Соответственно избранному направлению вращения маховика векторы и будут направлены вправо, причем

, (8)

поскольку момент импульса и его производная взаимно перпендикулярны и не изменяются по модулю, их можно связать соотношением:

(9)

С учетом (3) получаем:

Принимая во внимание (8), имеем:

откуда и.

(10)

Т

Рис.6.

аким образом, векторы и антипараллельны, причем имеет размерность частоты (проверить самостоятельно). Эта частота называется частотой прецессии. Гироскоп будет осуществлять вращательное движение вокруг вертикальной оси. Приведенные соображения справедливы при условии .

Целью данной работы является ознакомление с особенностями движения гироскопа.