Динамика вращательного движения твердого тела

Предложенный цикл лабораторных работ по разделу "Динамика вращательного движения твердого тела" состоит из следующих задач:

1. Изучение основного уравнения динамики вращательного движения с помощью маятника Обербека.

2. Определение скорости пули с помощью крутильно-баллистического маятника.

3. Определение момента инерции махового колеса и момента силы трения в опоре.

4. Определение момента инерции тел и проверка теоремы Гюйгенса-Штейнера с помощью крутильных колебаний.

5. Изучение динамики движения твердых тел с помощью маятника Максвелла.

6. Изучение прецессии гироскопа.

7. Изучение эллипсоида инерции твердых тел.

Каждая из лабораторных работ должна рассматриваться как небольшое самостоятельное научное исследование с защитой полученных результатов. Поэтому при подготовке к выполнению работ следует обратить особое внимание на теоретический материал изученного раздела, не ограничиваясь сведениями, данными в методических указаниях, а используя конспект лекций и рекомендованную лектором литературу. Для успешной защиты работы необходимо обосновать правильность избранной методики экспериментальных исследований, представить результаты экспериментов с оценкой погрешностей измерений, сопоставить результаты исследовательских данных с теоретическими расчетами.

Основные законы динамики вращательного движения тела.

Особенностью вращательного движения является то, что все точки твердого тела двигаются по концентрическим окружностям, центры которых расположены на оси вращения. Эти точки двигаются с разными линейными скоростями, а одинаковой для них является угловая скорость . Поэтому при описании вращательного движения тел необходимо все кинематические характеристики выразить через углы и . Это приводит к необходимости введения ряда новых физических величин ‑ момента силы, момента импульса, момента инерции.

Пусть положение некоторой материальной точки относительно точки 0, принятой за начало, характеризуется радиус-вектором (рис. 1). Тогда момент импульса этой точки относительно начала 0 есть вектор , направление которого определяется правилом правого винта. Аналогично можно ввести понятие момента силы : , здесь под понимают равнодействующую всех сил, которые действуют на материальную точку.

Прдифференцируем момент импульса по времени:

.

Поскольку и совпадает с направлением импульса , то первое слагаемое равняется 0. Второе слагаемое представляет собой момент силы , так как .

В результате получаем уравнение моментов , которое сыграет важную роль при рассмотрении движений материальных точек и тел.

Найдем теперь уравнение движения твердого тела, которое вращается относительно неподвижной оси. Для каждой из точек тела с элементарной массой можно записать .

Суммируя по всем точкам тела, получим .

Учитывая аддитивность величин и , последнее соотношение можно переписать

(1)

Здесь и - суммарные момент импульса и момент внешних сил, которые действуют на тело. Момент импульса -ой материальной точки можно представить в виде

Так как рассматриваеться вращение твердого тела, то , поэтому

,

где - единичный вектор вдоль оси вращения (см. рис. 2). Вместе с тем, . Тогда

Подставив в основное уравнение (1) это значение и вынося за знак суммы , получим

(2)

Введем следующее обозначение:

Величина называется моментом инерции тела относительно оси . Момент инерции тела характеризует инертные свойства тела относительно изменения угловой скорости. Он зависит как от конфигурации точек в системе, так и от выбора оси, относительно которой рассматривается вращение. Тогда соотношение (2) можно записать в виде

(3)

Последнее выражение представляет собой основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела. Сравнивая его с (1), находим

Если момент инерции тела постоянен, т.е. в процессе вращательного движения тела конфигурация его точек не меняется, то уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси вращения принимает вид

где I – момент инерции тела относительно оси, - угловое ускорение, М – момент внешних сил относительно указанной оси.

Из соотношения (3) следует, что, если момент всех внешних сил, которые действуют на тело, равняется нулю ( ), то . Это одна из форм записи фундаментального закона физики ‑ закона сохранения момента импульса. Более общая формулировка этого закона имеет следующий вид: в инерционной системе отсчета момент импульса замкнутой системы частиц остается постоянным

.

Здесь следует помнить, что моменты импульса отдельных частей системы могут изменяться со временем. Однако эти изменения всегда происходят так, что увеличение момента импульса одной части системы равняется уменьшению момента импульса ее другой части. Отметим, что соображения, которые приводят к закону сохранения момента импульса, целиком опираются на справедливость законов Ньютона. А как обстоит дело в системах, которые не подчиняются этим законам, например, в системах с электромагнитным излучением, в атомах, ядрах и др.?

Учитывая важную роль, которую играет закон сохранения момента импульса в физике, понятие момента импульса расширяют на немеханические системы и постулируют закон сохранения момента импульса для всех физических процессов. Такой расширенный закон сохранения момента импульса уже не является следствием законов Ньютона, а представляет собой самостоятельный общий принцип, являющийся обобщением опытных данных.

Найдем теперь кинетическую энергию вращения твердого тела для случая неподвижной оси.

Так как , то

Если тело двигается еще и поступательно со скоростью, то

где V_c – скорость движения центра масс тела.

Сопоставим теперь основные соотношения динамики вращательного движения твердого тела и поступательного

Вращательное движение	Поступательное движение