Одномерное движение материальной точки под действием произвольной силы, зависящей от координаты. Точное решение.
Дифференциальное уравнение, описывающее
движение материальной точки массы
под действием силы
,
зависящей от координаты
,
запишем в виде
, (2.13)
где - скорость движения точки. Умножим левую часть (2.13) на , а правую - на . Тогда получим
. (2.14)
Сократим правую и левую часть (2.14) на и возьмем интеграл от обеих частей, постоянную интегрирования обозначим через :
. (2.15)
Учитывая,
что
и вводя обозначение
,
приводим (2.15) к окончательному виду
. (2.16)
Полученное
соотношение представляет собой закон
сохранения энергии материальной точки,
- ее кинетическая энергия,
- потенциальная энергия,
-
полная энергия.
Выразим из (2.16) скорость точки через ее координату:
. (2.17)
Знак
(2.17) означает, что в точке с заданной
координатой закон сохранения энергии
определяет лишь абсолютное значение
скорости, при этом точка может двигаться
как в положительном, так и в отрицательном
направлении оси
.
Разделяя переменные в (2.17) и интегрируя, получаем связь между координатой и временем, т.е. закон движения точки в виде
. (2.18)
Таким образом, мы получили закон движения точки для произвольной силы . Приведем несколько примеров использования этого выражения.
Пример 1. Движение материальной точки в треугольной потенциальной яме.
Потенциальную энергию точки представим в виде (см. рис.2).
. (2.19)
Рис.2. Треугольная потенциальная яма.
Движение
точки, при заданной полной энергии
,
происходит в интервале
,
причем в точке
потенциальная
энергия равна полной,
.
Таким образом
.
Подставляя в общее решение (2.18)
потенциальную энергию (2.19), соответствующую
треугольной потенциальной яме, получаем
. (2.20)
Выразим
полную энергию, входящую в (2.20) в виде
.
Тогда получим
,
(2.21)
где
постоянная интегрирования
представляет собой момент времени, в
который материальная точка имеет
координату
.
Разрешая (2.21) относительно координаты
,
получаем уравнение движения точки в
виде
. (2.22)
Физической
интерпретацией полученного результата
может служить материальная точка,
двигающаяся в поле тяжести над
горизонтальной упругой плитой, имеющей
координату
.
В этом случае потенциальная энергия
при
приобретает вид
,
константа
(где
-
ускорение свободного падения) и закон
движения (2.22) запишется в виде
.
Пример 2. Уравнение движения гармонического осциллятора.
Выражение (2.8), описывающее движение
гармонического осциллятора, было
получено выше путем решения дифференциального
уравнения (2.1). Здесь мы получим его,
исходя из общей формулы (2.18). Подставим
в эту формулу потенциальную энергию
гармонического осциллятора
:
. (2.23)
По
аналогии с предыдущим примером, введем
амплитуду колебаний
,
так что
- см. рис.1. Подставляя это выражение для
полной энергии в (2.23), получаем
. (2.24)
Введем
новую переменную
.
Тогда (2.24) приобретает вид
. (2.25)
Используя
еще одну замену переменных
,
представим (2.25) в форме
, (2.26)
где - постоянная интегрирования. Тогда
. (2.27)
Положим
в (2.27)
.
Тогда (2.27) приобретает вид
,
совпадающий с (2.8) - законом движения гармонического осциллятора, полученным интегрированием дифференциального уравнения его движения.
Пример 3. Уравнение движения ангармонического осциллятора с возвращающей силой .
Сопоставим этой силе потенциальную
энергию
.
Подставляя это соотношение в общее
выражение (2.18) для закона движения
материальной точки в потенциальном
поле произвольного вида, получаем
. (2.28)
Как
и ранее, введем амплитуду колебаний
,
так что
.
Подставляя это выражение в (2.28), получаем
. (2.29)
Мы получили закон движения ангармонического осциллятора в виде интеграла. К сожалению, этот интеграл не может быть выражен через элементарные функции.
Используем (2.29) для расчета периода
колебаний ангармонического осциллятора.
Время движения материальной точки между
двумя точками остановки (от
до
)
представляет собой половину периода
колебаний. Согласно (2.29),
. (2.30)
Вводя новую переменную и используя четность подынтегральной функции, получим выражение для периода колебаний:
. (2.31)
Итак, период колебаний ангармонического осциллятора с возвращающей силой имеет вид
. (2.32)
Исходя из теории размерностей, выше было получено такое же выражение (1.10) с неопределенной постоянной . Решение (2.31) позволяет рассчитать эту постоянную:
. (2.33)
Интеграл,
входящий в (2.33) не выражается через
элементарные функции. Однако он может
быть выражен через некоторые специальные
функции. В самом деле, введем новую
переменную
.
Тогда имеем
,
где
- бета-функция Эйлера,
- гамма-функция Эйлера.
Задание. Получить
уравнение движения ангармонического
осциллятора с возвращающей силой
.
Рассчитать период его колебаний.
Уравнение движения и период колебаний
выразить через соответствующие интегралы.