Глава 2. Одномерное движение материальной точки

1. Расчет движения гармонического осциллятора

Рассмотрим материальную точку массы , которая движется вдоль прямой под действием силы , где - координата точки, - время. Будем считать, что эта сила обусловлена пружиной жесткости . Запишем дифференциальное уравнение (второй закон Ньютона), описывающее движение материальной точки

. (2.1)

Зададим начальную координату точки и ее начальную скорость

. (2.2)

Частные решения уравнения (2.1) будем искать в виде

.

Подставляя эти выражения в (2.1) видим, что они являются решениями этого уравнения, если

. (2.3)

Уравнение (2.1) является линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Поэтому общее решение этого уравнения будем искать в виде линейной комбинации его частных решений

. (2.4)

Тогда

. (2.5)

Для нахождения произвольных постоянных и используем начальные условия (2.2). Подставляя (2.4) и (2.5) в (2.2), получаем . Тогда (2.4) приобретает вид

. (2.6)

Таким образом, мы получили точное решение уравнения (2.1) с начальными условиями (2.2). Видно, что это решение является периодическим с периодом

. Используя (2.3), запишем период колебаний гармонического осциллятора в виде , что согласуется с выражением (1.10), полученным из теории размерностей. Константа , которую мы не могли определить из соображений размерности, оказалась равной .

Закон движения гармонического осциллятора (2.6) можно представить в другом виде. Для этого перепишем (2.6) как

. (2.7)

Представим (2.7) в виде

. (2.8)

В выражении (2.8) представляет собой амплитуду колебаний, - фазу, а - начальную фазу колебаний гармонического осциллятора.

Используя формулу косинуса суммы двух аргументов, преобразуем (2.8) к виду

. (2.9)

Сравнивая (2.9) с (2.7), находим

.

2. Фазовый портрет гармонического осциллятора

Вернемся к дифференциальному уравнению (2.1), которое описывает движение гармонического осциллятора, и запишем его в виде

, (2.10)

где - скорость движения материальной точки. Умножим левую часть (2.10) на , а правую - на . Тогда имеем

. (2.11)

Сокращая (2.11) на и интегрируя,

,

получаем закон сохранения энергии

, (2.12)

где - кинетическая энергия, - потенциальная энергия, постоянная интегрирования представляет собой полную энергию. Видно, что - сила, действующая на материальную точку [2].

На рис.1 представлен графики потенциальной и полной энергии гармонического осциллятора. Материальная точка может находиться в области, в которой потенциальная энергия не превышает полной, поскольку разность полной и потенциальной энергии - это кинетическая энергия, которая не может быть отрицательной. Точки, в которых потенциальная энергия равна полной - это точки остановки. На том же рисунке представлена связь между скоростью и координатой гармонического осциллятора при разных значениях полной энергии. Согласно (2.12), каждая из таких кривых является эллипсом. Совокупность этих кривых называется фазовым портретом системы.

Рис.1. График потенциальной энергии и фазовый портрет

гармонического осциллятора.