Тема 3. Скалярний, векторний та мішаний добутки векторів.

Будемо розглядати базис, який складається з одиничних (однакової довжини) і взаємно перпендикулярних векторів. Фіксуючи початок координат, одержимо декартову прямокутну систему координат.

Такий базис називається ортонормованим. Ортонормований базис в просторі часто позначають , , .

Кутом між будь-якими векторами і називається кут між векторами, що дорівнюють даним і мають спільний початок (рис.11).

Рис.11

Позначення: . Будемо вважати, що .

Якщо вектори і співнапрямлені, зокрема один з них або обидва нульові, то вважають, що кут між ними дорівнює 0°.

Два вектори називаються перпендикулярними, якщо кут між ними дорівнює 90°.

Надалі будемо розглядати ненульові вектори і .

Скалярним добутком двох векторів і називається число, що дорівнює добутку їх довжин на косинус кута між ними.

( · )= | |·| |·cos φ.

Скалярний добуток векторів і позначають: ( ) або × .

Геометричні властивості:

1°. Для того, щоб два ненульові вектори були перпендикулярними, необхідно і достатньо, щоб їх скалярний добуток дорівнював нулю:

↔( · )=0.

Доведення.

( · )=0 | |·| |·cos φ=0 cos φ=0 φ=90°.

2°. Довжина вектора дорівнює кореню квадратному з його скалярного квадрата: .

Скалярним квадратом вектора називається скалярний добуток ( · ), він позначається: ( · )= ².

Доведення.

Дійсно, ( · )=| |·| |·cos 0°= . Отже, .

Алгебраїчні властивості:

Для будь яких векторів , , і будь-якого числа мають місце такі співвідношення:

3°. ( · )=( · ) – комутативність;

4°. ( )· = ( · ) – асоціативність;

5°. ( + )· = ( · )+( · ) – дистрибутивність відносно додавання векторів.

Доведення властивостей 3° - 5° можна знайти, наприклад, в [2].

Задача 3. Знайти значення скаляра якщо , , .

Розв’язання.

Задача 4. Який кут утворюють одиничні вектори і , якщо відомо, що вектори і взаємно перпендикулярні.

Розв’язання.

Оскільки вектори і взаємно перпендикулярні, то ( · )=0, тобто

.

Враховуючи алгебраїчні властивості скалярного добутку, маємо:

.

Оскільки = =1, то з останньої рівності дістаємо: 6 · =3, звідси · · , або , отже .

Запис скалярного добутку через координати векторів

Знайдемо вираз для скалярного добутку в декартових прямокутних координатах. Нехай базис , , складається з одиничних = = і взаємно перпендикулярних векторів:

Нехай далі вектори і мають в цьому базисі координати: , .

Виразимо вектори і через базис

, .

Враховуючи алгебраїчні властивості скалярного добутку, одержуємо:

( · )= · .

Таким чином, має місце теорема.

Теорема 4. Скалярний добуток двох векторів, визначених своїми декартовими прямокутними координатами , , дорівнює сумі попарних добутків відповідних координат:

.

Очевидно, що коли вектори задано своїми декартовими прямокутними координатами на площині: , , то .

Наслідок 1

.

Наслідок 2

.

Наслідок 3

Якщо А , В , то відстань між точками А і В, тобто модуль вектора , обчислюється за формулою:

.

Напрямними косинусами вектора називаються косинуси кутів, які утворює вектор з одиничними векторами осей координат.

Позначимо кути, які утворює вектор з осями координат через , і відповідно.

Користуючись наслідком 2, знайдемо косинуси цих кутів (рис.13).

Рис.13

Оскільки , , в базисі , , , то

(3)

Підносячи одержані рівності до квадрата і додаючи їх, одержимо:

.

Висновок. Сума квадратів напрямних косинусів будь-якого вектора дорівнює одиниці.

Задача 5. Знайти координати орта вектора .

Розв’язання.

Позначимо орт даного вектора через . Тоді і на основі теореми про дії над координатами маємо:

.

Порівнюючи знайдені координати вектора з одержаними вище формулами для напрямних косинусів (3) помічаємо, що напрямні косинуси вектора є координатами його орта.

Задача 6. Знайти одиничний вектор , який перпендикулярний як до вектора , так і до осі абсцис.

Розв’язання.

Задамо вектор координатами . Тоді умови задачі приймають вигляд:

  або

Розв’язуючи одержану систему рівнянь, будемо мати два вектора: , .

Задача 7. Дано вектори і . При якому вектори і перпендикулярні?

Розв’язання.

За умовою , і , тобто , звідки .

Задача 8. Знайти довжину проекції вектора на вісь .

Розв’язання.

За означенням проекції вектора на вісь . Помножуючи цю рівність на , маємо , звідки , тобто (рис.14)

(4)

Рис.14

Задача 9. Дано три вектора , , . Обчислити .

Розв’язання.

Знайдемо координати вектора : (2; -3; 6). Користуючись формулою (4), одержаною в задачі 12, маємо:

.