8.2.3. Уравнение материального баланса для элементарного объема проточного реактора

Рассмотрим поток жидкости (газа), протекающий через реактор. О ходе химического процесса будем судить по изменению молярной концентрации вещества A в жидкости с_A. Так как в общем случае в реакторе отмечается то или иное распределение концентрации вещества с_A по объему, а в каждой произвольно выбранной точке еще и распределение во времени, то будем считать, что с_A – это функция четырех переменных: трех пространственных координат x, y, z и времени .

Примем за элементарный промежуток времени бесконечно малый интервал d, а за элементарный промежуток пространства – параллелепипед с бесконечно малыми сторонами dx, dy, dz и объемом

dV = dx×dy×dz (рисунок 8.6).

На рисунке 8.6. обозначено: 1, 1^/ – конвективный и 2, 2^/ – диффузионный потоки соответственно на входе в элементарный объем и на выходе из него.

Конвективный перенос (перенос импульса) вызван движением потока со скоростью u в результате внешнего воздействия, например из-за перепада давления. Охарактеризовать конвективный перенос можно изменением импульса единицы объема среды.

Диффузионный перенос обусловлен неравномерным распределением вещества A в пространстве. Его можно охарактеризовать, согласно закону Фика, изменением диффузионного потока вещества A.

Рис 8.6. Элементарный объем химического реактора

Химическая реакция в элементарном объеме – неотъемлемая часть любого химического процесса. Расход или образование вещества A в ходе реакции пропорциональны скорости реакции w_r,A.

Алгебраическая сумма всех этих трех изменений равна накоплению (убыванию) вещества A в элементарном объеме за промежуток времени, для которого составляют материальный баланс.

Количество вещества, попадающее за время d в элементарный объем с конвективным потоком, можно рассматривать как сумму составляющих потока, которые войдут через отдельные грани параллелепипеда.

Подробно излагать вывод не будем, запишем только конечную формулу, характеризующую изменение количества вещества в элементарном объеме dV в результате конвективного переноса:

. (8.6)

Изменение количества вещества A в результате диффузионного переноса через все грани параллелепипеда за время d составит(8.7):

. (8.7)

И, наконец, изменение количества вещества A в ходе химической реакции внутри элементарного объема dV за элементарный промежуток времени d составит:

. (8.8)

Накопление вещества A за время d в элементарном объеме:

. (8.9)

Таким образом, уравнение материального баланса по веществу A на основе уравнений (8.6) – (8.9) выглядит следующим образом:

. (8.10)

Сократив все члены уравнения (8.10) на dVd получим:

. (8.11)

Уравнение (8.11) достаточно полно описывает химический процесс, протекающий в любом реакторе. В нем отражен перенос импульса (первый член уравнения), диффузионный перенос (второй член) и химическая реакция (третий член).

Вместе с уравнением теплового баланса, учитывающим явления теплопереноса в элементарном объеме химического реактора, уравнение (8.11) составит полную математическую модель реактора.

Однако уравнение (8.11) слишком сложно для решения (дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных). Следовательно, реальный путь создания математической модели, пригодной для решения практических инженерных задач, – это упрощение выведенной модели, которое можно провести для разных частных случаев.

В соответствии с этой концепцией рассмотрим математические модели различных типов реакторов.