3.3 Методи розв’язування системних рівнянь

3.3.1 Матричний метод

Нехай кількість рівнянь системи (1) дорівнює числу невідомих, тобто . Тоді матриця системи буде квадратною, а її визначник називають основним визначником системи.

Припустимо, що матриця не вироджена, тобто її визначник .

У цьому разі існує обернена матриця .

Запишемо систему в матричному вигляді (2). Помноживши зліва обидві частини матричної рівності на матрицю , дістанемо

.

Оскільки , то розв’язком системи буде матриця-стовпець

. (3)

Приклад. Матричним методом розв’яжемо систему рівнянь

У цьому разі

Ураховуючи результат, добутий у прикладі 3, за формою (3) маємо

Отже, задана система має розв’язок .

3.3.2 Застосування формул Крамера для розв’язування систем лінійних рівнянь

Формули Крамера для розв’язування системи (1) використовуються лише тоді, коли основна матриця квадратна й невиражена.

ТЕОРЕМА (Крамера)

Нехай - визначник системи, а визначник, який дістають із заміною го стовпця на стовпець вільних членів . Тоді, якщо , то система (1) має єдиний розв’язок, який визначається формулами Крамера:

Зауваження: У разі, коли , а серед є ненульові визначники, система (1) несумісна. В разі однорідної системи і вона має лише нульовий розв’язок; якщо ж , то система, крім нульового, має також інші розв’язки.

Приклад. За формулами Крамера розв’яжемо систему

Обчислимо визначники:

За формулою Крамера дістанемо

3.3.3. Метод Гаусса та Гаусса-Жордана

Розвязувати будь-які системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) можна методами Гаусса (виключення невідомих) та Гаусса-Жордана.

Суть методу Гаусса – зведення системи шляхом елементарних перетворень до такого вигляду системи, коли усі коефіцієнти, що знаходяться нижче головної діагоналі основної матриці, дорівнюють нулю.

Приклад. Розв’язати систему рівнянь:

Розв’язання. Щоб виключити невідоме з другого та третього рівняння, віднімемо від них перше рівняння і одержимо систему

В останній системі виключимо із третього рівняння шляхом множення другого рівняння на і додаванням до третього рівняння. Одержимо

Вважаємо (стала), тоді з третього рівняння одержимо .

Підставимо це значення та в друге рівняння і одержимо:

.

Тепер підставимо в перше рівняння та і одержимо

.

Таким чином, задана система трьох лінійних рівнянь з 4 невідомими має одну вільну невідому . Розв’язком цієї системи буде

Зауваження: Метод Гаусса часто спрощують, перетворюючи не усю систему, а лише її розширену матрицю.

Поняття різновидів розв’язків

Якщо в розв’язку прикладу 2 сталій надавати конкретні числові значення, то одержимо відповідні частинні розв’язки.

Коли розв’язок системи розглядають залежним від значень сталої , тоді його називають загальним розв’язком системи. Якщо взяти , то одержаний розв’язок називають базисним. При розв’язок називають фундаментальним. В прикладі 2 розв’язок виду (3) – загальний розв’язок системи. Базисним та фундаментальним розв’язком будуть

Якщо усі елементи базисного розв’язку невід’ємні, то такий розв’язок називають опорним.

Метод Гаусса-Жордана дозволяє ефективно розв’язувати системи лінійних алгебраїчних рівнянь з багатьма невідомими, визначати при цьому ранги матриць та сумісність системи, своєчасно здійснювати контроль розрахунків.

При розв’язування лінійних алгебраїчних систем методом Гаусса-Жордана треба записати систему у вигляді таблиці і послідовно зробити декілька кроків перетворення Гаусса-Жордана з певним правилом переходу від однієї таблиці до іншої.

Кроком перетворення Гаусса-Жордана називають елементарні перетворення, за допомогою яких задана система зводиться до еквівалентної системи у базисному вигляді.

Алгоритм кроку перетворення Гаусса-Жордана:

1. Обираємо розв’язувальний елемент ;

2. Елементи і-го рядка(його звуть розв’язувальним) ділимо на і запишемо в -тий рядок нової розрахункової таблиці;

3. В розв’язувальному стовпці замість пишуть одиницю, а замість інших елементів цього стовпця пишуть нулі;

4. Усі інші елементи розрахункової таблиці, в тому числі і елементи контрольного стовпця, знаходять за формулою:

Обчислення елементів за формулою (4) доцільно виконувати з використанням схеми прямокутників

5. Роблять перевірку правильності розрахунків шляхом порівняння суми елементів рядка з відповідним елементом контрольного стовпця.

Приклад: Скласти розрахункову таблицю і виконати крок перетворень Гаусса-Жордана для системи

Розв’язування. Запишемо задану систему у вигляді розрахункової таблиці 1 при цьому в тий стовпець записують коефіцієнти, що стоять перед , в стовпець записують вільні члени системи.

Табл. 1

3	2	3	5	13
2	3	8	12	25
2	1	9	11	23

Елементи останнього – контрольного стовпця повинні дорівнювати сумі елементів відповідного рядка таблиці.

За алгоритмом кроку перетворень Гаусса-Жордана зробимо перехід до розрахункової таблиці 2.

1. Обираємо розв’язувальний елемент ;

2. Елементи першого (розв’язувального) рядка ділимо на 2 і запишемо в перший рядок таблиці 2;

3. У другому (розв’язувальному) стовпці , а інші елементи дорівнюють нулю.

4. Решту елементів таблиці 2 обчислюємо за формулою (4) з використанням схеми прямокутника:

Табл..2

Х1	Х2	Х3	ві	к
3/2	1	3/2	5/2	13/2
-5/2	0	7/2	9/2	11/2
1/2	0	15/2	17/2	33/2

; ;

; ;

; ;

; ;

5. Перевіряємо правильність розрахунків:

; ; .

Рекомендації до скорочення розрахунків:

1. Розв’язувальним елементом доцільно обирати одиницю, тоді формули (4)спрощуються.

2. Якщо у розв’язувальному стовпці є нулі, тоді відповідний рядок з цієї таблиці переписується в нову таблицю без змін.

3. Якщо в розв’язувальному рядку розрахункової таблиці є нулі, тоді відповідні стовпці переписують в нову таблицю без змін.

Наприклад, нехай в і-тому розв’язувальному рядку , тоді й стовпець таблиці переписуємо без змін.

4. Якщо в таблиці є 2 пропорційні рядки, тоді один з них можна закреслити.

Наступні кроки перетворення Гаусса-Жордана виконується таким же чином, при цьому кожного разу розв’язувальний елемент треба обирати з інших рядків і стовпців.

Після послідовного виконання декількох, наприклад r, кроків перетворення Гаусса-Жордана одержимо системі у вигляді таблиці 3, яку звуть базисним виглядом.

Табл.. 3

x1	x2	…	хк	…	xr	xr+1	…	xn	b1	k
1 0 0 0 0	0 1 0 0 0	… … …	0 0 0 1 0	… … … … …	0 0 0 0 1	b1r+1 b2r+1 ... … brr+1		b1n b1n ... … brn	c1 c2 ... … cr	k1 k2 ... … kr

1. r = n, тоді система має єдиний розв’язок х_к = с_к , тоді k = 1,2,…,n;

2. r m < n, тоді система має множину розв’язків.

Загальним розв’язком буде:

(5)

Невідомі , відносно яких система розв’язана, називають базисними, а невідомі , , … , називають вільними або не базисними.

Кожне базисне невідоме входить лише в одне рівняння системи з коефіцієнтом 1.

Якщо у загальному розв’язку (5) усі вільні невідомі прирівняти нулю, то одержимо базисний розв’язок системи , ,…, , = =…= =0.

Якщо одну вільну невідому прирівняти одиниці, а інші – нулю, тоді одержимо фундаментальний розв’язок системи.

Базисний невід’ємний розв’язок системи називають опорним розв’язком цієї системи.

3. При перетворенні системи одержали рівняння, усі коефіцієнти дорівнюють нулю, а права частина с_j не дорівнює нулю.

В цьому випадку система несумісна.

Приклад 4. Розв’язати методом Гаусса-Жордана систему

(6)

Розв’язування. Будемо проводити з використанням розрахункової таблиці, формул(4) та рекомендації до скорочення розрахунків.

Табл.. 4

x1	x2	x3	x4	x5	b1	k
1 3 0 5	1 2 1 4	1 1 1 2	1 1 2 3	1 -3 6 -1	7 -2 23 12	12 2 34 26
1 0 0 0	1 -1 1 -1	1 -2 2 -2	1 -2 2 2	1 -6 6 -6	7 -23 23 -23	12 -34 34 -34
1 0	0 1	-1 2	-1 2	-5 6	-16 23	-22 34

У другій таблиці четверте рівняння дорівнює другому, тому його викреслили. Друге рівняння пропорційне третьому, тому його також викреслили.

Із останньої таблиці видно, що система (6) сумісна і має множину розв’язків. Базисні невідомі та , вільні невідомі .

Загальний розв’язок системи (6) має вигляд

(7)

Базисним розв’язком цієї системи буде

Фундаментальних розв’язків система (6) має три: