Елементи аналітичної геометрії

Аналітична геометрія – розділ математики, в якому властивості геометричних об’єктів (точок, ліній, поверхонь, фігур, тіл тощо) вивчаються засобами алгебри на основі методу координат, з допомогою якого одержується взаємно-однозначна відповідність між геометричними образами – точками та алгебраїчними об’єктами, тобто кожній точці, наприклад, площини в певній системі координат відповідає пара чисел (її координати) і, навпаки, кожній парі чисел відповідає єдина точка. Така відповідність дозволяє вивчення геометричних властивостей різних об’єктів звести до вивчення аналітичних співвідношень між координатами точок множини, що задають певний геометричний об’єкт. Оскільки такі співвідношення найчастіше мають вигляд рівнянь, то, нехай дано рівняння

(1)

з двома змінними та .

При розгляді лінії використовують термін біжуча точка лінії. Це змінна точка , яка рухається вздовж лінії, а її координати та називаються біжучими (змінними) координатами.

Приклад. Вивести рівняння кола з центром в точці та радіусом (рис.1).

Б еруть на кривій біжучу точку . Тоді згідно визначення кола, як множини точок, що рівновіддалені від однієї точки, яка називається центром, і ця віддаль рівна радіусу кола, записують: або

.

Рівняння (1) називається рівнянням лінії , яка задана на площині відносно певної системи координат, якщо це рівняння задовольняють координати і кожної точки лінії і не задовольняють координати і жодної точки, яка не лежить на цій лінії.

§1. Пряма на площині

Нехай пряма проходить через точку

паралельно до вектора , що називається її напрямним вектором (рис.2). Введемо на прямій біжучу точку , тоді вектор колінеарний вектору . Отже,

. (2)

Рівняння (2) називається канонічним рівнянням прямої на площині. Якщо , то дістанемо рівняння , .

Це рівняння прямої, що проходить через задану точку з заданим кутовим коефіцієнтом , де - кут, що утворює пряма з додатнім напрямком осі :

(3).

Нехай пряма проходить через дві задані точки і (рис.2). Тоді за напрямний вектор виберемо вектор і це рівняння (2) будемо мати вигляд прямої, що проходить через дві задані точки:

(4).

Я кщо дві прямі задані рівняннями , , то для знаходження кута між прямими зручно користуватись формулою

, (5)

звідки умови перпендикулярності і паралельності двох прямих будуть відповідно:

або (ІІ).

§2. Криві другого порядку

Розглянемо три види ліній: еліпс, гіперболу, параболу, рівняння яких у прямокутній системі координат є рівняннями другого степеня. Такі криві називаються лініями другого порядку.

Загальне рівняння другого степеня з двома змінними в загальному вигляді буде

, (6)

в якому не дорівнює одночасно нулеві .

Далі вважаємо, що . Тоді

,

або, нехай, , тоді

.

Далі нехай для простоти , тоді матимемо:

(7)

Якщо коефіцієнти і мають однакові знаки, то крива другого порядку (7) називається еліптичного типу. Нехай, наприклад, і можливі три випадки: а) , б) , в) .

Легко бачити, що у випадку крива не має дійсних точок, а у випадку крива вироджується в одну точку . Тому зупинимося на випадку .

Розділимо рівняння (7) на і введемо позначення: , . Тоді

. (8)

і одержуємо канонічне рівняння еліпса, з півосями та . Якщо , то рівняння (8) є рівнянням кола . Точки і , де

(9)

називаються фокусами еліпса. Відношення називається ексцентриситетом еліпса, що характеризує форму еліпса, зокрема , а для кола . Точки , , , називаються вершинами еліпса (рис.4).

Сума відстаней від будь-якої точки еліпса до його фокусів , звідки, враховуючи (9) та , дістанемо .

Отже, для будь-якої точки еліпса сума відстаней її до фокусів є величина стала.

Якщо коефіцієнти мають протилежні знаки, то криву (7) називають гіперболічного типу.

Для конкретності, нехай . Можливі три випадки:

а) , б) , в) .

У випадку з (7) дістаємо рівняння

, (10)

яке називається канонічним рівнянням гіперболи; - дійсна вісь, - уявна вісь. Фокуси гіперболи – точки і , де . Вершини гіперболи , , - ексцентриситет гіперболи.

Легко довести, що для будь-якої точки абсолютна величина різниці її відстаней до фокусів є величина стала

.

П ерепишемо рівняння гіперболи (10) у вигляді , де при досить великих можна записати і дістанемо вигляд . Такі прямі називаються асимптотами гіперболи (рис.5).

У випадку рівняння кривої має вигляд , тобто дістаємо пару прямих та .

У випадку дістанемо гіперболу , що є спряженою з гіперболою (10).

Нехай тепер у рівнянні (6) , а також один з коефіцієнтів чи дорівнює нулю, для конкретності :

(11)

Нехай точка . Доповнимо члени з до повного квадрату

.

Покладемо , маємо

(12)

К рива (12) називається параболою, а точка - вершиною параболи, - параметром параболи. Якщо вітки параболи направлені праворуч, якщо - ліворуч (рис.6).