§3. Пряма у просторі
Нехай
задано деяку пряму
,
що проходить через точку
паралельно вектору
(називається напрямним вектором прямої).
Згідно з умовою колінеарності векторів
та
(рис.7) маємо:
(13)
Я
кщо
пропорцію (13) прирівняти до деякого
значення
- параметра, який набуває будь-яких
дійсних значень
,
то рівняння (13) переходить в параметричне
рівняння прямої
,
або
(14)
Рівняння (14) часто застосовують в задачах знаходження перетину прямої з іншими лініями чи поверхнями.
Кут
між прямими дорівнює куту між напрямними
векторами
,
а саме
,
(15)
звідки умови перпендикулярності та паралельності відповідно будуть:
,
(16)
§4. Рівняння площини
Площину
у просторі можна задати деякою точкою
і ненульовим вектором
,
перпендикулярним до цієї площини, який
називається її нормальним вектором
(рис.8).
Т
оді,
якщо точка
- біжуча точка площини
,
то вектори
та
перпендикулярні
,
а значить,
(векторне рівняння площини), або в
координатній формі:
.
(17)
Позначивши
,
остаточно записують
,
(18)
що називається загальним рівнянням площини.
Як
відомо, площина однозначно задається
трьома точками, що не лежать на одній
прямій. Нехай це будуть точки
,
,
,
а
- біжуча точка площини (рис.9).
Т
оді
вектори
,
,
є
компланарними, тобто лінійно залежними,
а значить дістаємо рівняння площини
,
що проходить через три задані точки:
(19)
§5. Поверхні обертання
Поверхню, утворену обертанням плоскої кривої навколо заданої прямої (осі обертання), яка лежить в площині кривої , називають поверхнею обертання.
Нехай
лінія
,
що лежить в площині
,
задана рівнянням
(20)
(
- змінні координати точок лінії
,
а
- змінні координати точок поверхні).
Розглянемо
поверхню, утворену обертанням цієї
лінії навколо осі
(рис.10), і знайдемо рівняння поверхні
обертання.
П
роведемо
через точку
поверхні обертання площину, перпендикулярну
до осі
,
і позначимо через
і
точки перетину цієї площини з віссю
і лінією
.
Оскільки відрізки
і
рівні між собою як радіуси,
,
то
,
крім того,
.
Оскільки
координати точки
задовольняють рівняння
,
то, підставляючи в це рівняння замість
рівні їм величини
,
,
дістанемо рівняння
,
(21)
яке задовольняє довільна точка поверхні обертання.
Аналогічно
можна скласти рівняння поверхонь
обертання навколо осей
і
.
Таким чином, щоб дістати рівняння
поверхні обертання кривої навколо
якої-небудь координатної осі, треба в
рівнянні кривої залишити без зміни
координату, яка відповідає осі обертання,
а другу координату замінити на квадратний
корінь із суми квадратів двох інших
координат, взятий із знаком “+” або
“-”.