§4. Вектори в системі координат

1. Проекція вектора на вісь

Віссю називається напрямлена пряма. Напрям прямої позначають стрілкою. Заданий на осі напрям вважають додатним, а протилежний йому – від’ємним.

Проекцією точки на вісь називається основа перпендикуляра , опущеного з точки на дану вісь. Таким чином, проекція є точкою перетину осі з площиною, яка проходить через т. , перпендикулярно до осі (рис.8).

Нехай, у просторі задано вісь і вектор . Позначимо через та проекції на вісь відповідно початку та кінця вектора і розглянемо вектор (рис.9).

П роекцією вектора на вісь називається додатне число , якщо вектор і вісь однаково напрямлені, і від’ємне число , якщо вектор і вісь протилежно напрямлені. Проекцію вектора на вісь позначають так: .

Кутом між вектором і віссю (або між двома векторами) називається менший з кутів, на який потрібно повернути один вектор або вісь, щоб він збігався за напрямом з другим вектором або віссю: .

Справедливі такі властивості проекцій.

1. , якщо і

, якщо

2 . (див. рис.10).

3. .

2. Системи координат

Розглянемо в просторі точку і деякий базис, що задається векторами , а на площині базис .

Сукупність точки і базису називається декартовою системою координат, де т. називається початком координат, а осі, які проходять через початок координат у напрямі базисних векторів, називаються осями координат. Перша з них проходить в напрямі вектора і називається віссю абсцис, друга вісь, яка проходить в напрямі вектора - віссю ординат і третя – в напрямі - віссю аплікат.

Площини, які проходять через осі координат, називаються координатними площинами.

Всякій точці простору можна співставити вектор , початок якого збігається з початком координат , а кінець – з точкою . Такий вектор називається радіусом-вектором точки відносно точки . Згідно з теоремою 1 існують такі дійсні числа , що .

Координати радіуса-вектора точки відносно початку координат називаються декартовими координатами точки в даній системі координат і пишуть , де координата - абсциса точки , координата - ордината точки і - апліката точки .

Аналогічно визначаються декартові координати точки на площині і на прямій.

О чевидно, декартових систем координат можна задати скільки завгодно. Серед них широко використовується прямокутна декартова система координат (рис.13, 14).

Щоб визначити цю систему введемо такі поняття.

Упорядкована трійка одиничних попарно ортогональних векторів називається ортонормованим базисом: ,

.

Впорядкована трійка не компланарних векторів називається правою, якщо з кінця третього вектора найкоротший поворот від вектора до другого вектора видно проти годинникової стрілки; в протилежному випадку трійка векторів називається лівою (див. рис.15(а, в)).

Прямокутною декартовою системою координат називається декартова система, базис якої ортонормований (рис.13,14). Прямокутна система координат називається правою (лівою), якщо її ортонормований базис утворює праву (ліву) трійку векторів. Надалі будемо в основному користуватись правою системою координат, яка визначається правим ортонормованим базисом . Перевага цієї системи координат полягає в тому, що координати точки дорівнюють відповідним проекціям, тобто: , , .