§ 2. Лінійні дії з векторами

До лінійних дій з векторами належить додавання і віднімання векторів, множення вектора на числа.

Означення 1. Сумою векторів та називається вектор, що напрямлений з початку вектора в кінець вектора за умови, що початок вектора суміщено з кінцем вектора . (рис.1). Це правило додавання векторів називають правилом трикутника.

Суму векторів можна побудувати також за правилом паралелограма (рис.2). Щоб побудувати суму будь-якого скінченого числа векторів, потрібно в кінці першого вектора побудувати другий, в кінці другого побудувати третій і т.д. Вектор, що йде з початку першого вектора в кінець останнього і буде сумою даних векторів (правило многокутника рис.3).

Означення 2. Добутком вектора на число називається вектор, колінеарний вектору , довжина якого дорівнює , а напрям збігається з напрямком вектора , якщо і протилежний, якщо .

Отже, якщо орт вектора , то , тобто всякий вектор дорівнює добутку свого модуля на свій орт і навпаки .

Ненульові вектори та колінеарні, тоді і тільки тоді, коли , де - число.

Означення 3. Сума векторів і називається різницею векторів та і позначається (рис.4).

Легко переконатись, що дії додавання векторів і множення вектора на число мають такі властивості:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

§3. Розклад вектора за базисом

Застосовуючи лінійні операції над векторами, можна знаходити суми добутків чисел , де , на вектори : . Вирази такого виду називаються лінійними комбінаціями векторів, а числа , що входять в лінійну комбінацію, - її коефіцієнтами.

Базисом на прямій називається довільний ненульовий вектор на цій прямій.

Базисом на площині називається довільна впорядкована пара неколінеарних векторів, а базисом у просторі – довільна упорядкована трійка некомпланарних векторів. Вектори, що складають базис, називаються базисними. Розкласти вектор за базисом означає зобразити його у вигляді лінійної комбінації базисних векторів.

Якщо вектори складають базис і вектор розкладений за цим базисом, тобто , то числа називаються координатами вектора . Кажуть також, що вектор лінійно виражається через вектори або є їх лінійною комбінацією.

Теорема1. Кожен вектор, що лежить на якій-небудь прямій, можна розкласти за базисом на цій прямій.

Кожен вектор, що лежить на якій-небудь площині, можна розкласти за базисом на цій площині.

Кожен вектор можна розкласти за базисом у цьому просторі. Координати вектора у кожному випадку визначаються однозначно.

Розглянемо геометричний зміст теореми.

Перше твердження теореми означає, що для довільного вектора , колінеарному ненульовому вектору (рис.5), знайдеться таке число , що , де , якщо вектори та однаково напрямлені, і

, якщо протилежно.

Друге твердження означає, що для кожного вектора , компланарного з двома не колінеарними векторами та (рис.6), знайдуться такі числа та , що , а щоб указати компоненти та досить розкласти вектор а суму векторів, колінеарних векторам та . Аналогічне геометричне тлумачення і третього твердження. Позначають координати вектора як .