§ 2. Матричний метод розв’язання лінійної системи.

Правило Крамера.

Нехай система з рівнянь і з невідомими, а квадратна матриця є невироджена. Тоді існує така, що . Звідси випливає матричний метод розв’язування лінійної системи:

(3)

З рівності (3) легко отримати правило Крамера:

, де . Оскільки:

..........................................................................................

,

то , , ... .

§3. Метод Гауса

Елементарними перетвореннями лінійної системи будуть такі ж, як і перетворення рядків матриці:

а) Множення обох частин одного з рівнянь на число .

б) Перестановка двох рівнянь.

в) Додавання до обох частин одного з рівнянь відповідних частин будь-якого другого рівняння, помноженого на число .

г) Відкидання рівнянь, в яких обидві частини рівні нулеві.

У результаті таких перетворень отримується система, еквівалентна даній.

Виключаючи послідовно невідомі з рівнянь системи, одержимо ступінчату систему. Очевидно зведення системи до ступінчатої – те саме, що й зведення до ступінчатого виду матриці

,

що називається розширеною матрицею системи і одержується з головної дописуванням справа стовпця вільних членів системи.

Головна матриця системи має стовпців. Тому її ранг . Ранг розширеної матриці . Отже ранги головної та розширеної матриць можуть бути різні. Тому при розв’язанні систем лінійних рівнянь одержуються випадки:

1. Ранги головної та розширеної матриць співпадають і рівні числу невідомих: . Система має, причому, єдиний розв’язок. (система однозначна).

2. Ранги матриць співпадають, але менші кількості невідомих . Система сумісна, але неоднозначна (має більше одного розв’язку).

3. Ранги розширеної та головної матриці не співпадають . Система несумісна.

ЕЛЕМЕНТИ ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ

§1. Скалярні та векторні величини

Багато фізичних величин повністю визначаються своїм числовим значенням (об’єм, маса, температура тощо); вони називаються скалярними. Але є й такі величини, які окрім числового значення мають ще й напрям (швидкість, сила, напруженість магнітного поля тощо); такі величини називаються векторними.

Векторна алгебра – розділ математики, в якому вивчаються дії над векторами.

Означення 1. вектором називається впорядкована пара точок , перша з яких називається початком вектора, друга – його кінцем.

Вектор з початком та кінцем позначається і зображується відрізком, на якому стрілкою позначається напрям від т. до т. . Якщо ж неістотно, які саме початок і кінець вектора, то його позначають однією буквою, наприклад . Тобто, геометричним вектором називається направлений відрізок.

В ідстань між початком вектора та його кінцем називається довжиною (модулем) вектора і позначається . Вектор, початок і кінець якого збігається, називається нульовим і позначається символом . Нульовий вектор не має визначеного напрямку, а довжина його дорівнює нулю .

Вектори називаються колінеарними, якщо вони розташовані на одній прямій або на паралельних прямих.

Означення 2. Вектори та називаються рівними, якщо вони однаково напрямлені і мають однакові довжини. При цьому пишуть .

Отже, вектори, які мають однакові напрямки й однакові довжини, але розташовані в різних частинах простору, не розрізняються, тобто вектор можна переносити паралельно самому собі, помістивши його початок в будь-яку точку простору. Такі вектори називаються вільними і надалі будуть розглядатись.

Ортом даного вектора називається вектор, який напрямлений однаково з даним вектором і має довжину, що дорівнює одиниці. Цей вектор позначається символом або , причому .

Вектор називається протилежним до вектора , якщо їх довжини рівні, а напрямки протилежні і позначається .

Означення 3. Три вектори називаються компланарними, якщо вони лежать в одній площині або в паралельних площинах.