§2. Лінійні операції над матрицями

Дві матриці однакового розміру називаються рівними, якщо рівні їх відповідні елементи.

Над матрицями проводять такі лінійні операції:

1. Додавання. Дві матриці та одного розміру можна додавати, отримуючи матрицю , елементи якої є сума відповідних елементів матриць та :

.

Сума матриць має властивості:

а) ;

б) ;

с) .

2. Множення матриці на число. Добутком матриці на число називається матриця , кожний елемент якої є добутком відповідного елемента матриці на число : з властивостями:

а) ;

б) ;

с) ;

д) .

§3. Множення матриць

Нехай задано матриці та такі, що число стовпців матриці рівне числу рядків матриці , тобто матриця має розмірність , а - . Тоді матриця узгоджена з матрицею .

Добутком матриці розмірності на узгоджену матрицю розмірності називається матриця (розмірності ), кожний елемент якої є сумою добутків елементів відповідного рядка матриці на елементи відповідного стовпця матриці , тобто, щоб отримати елемент матриці , потрібно елементи -го рядка матриці множити на елементи -го стовпця матриці і ці добутки просумувати:

,

або, щоб отримати , потрібно -ий рядок матриці множити на -ий стовпець матриці за правилом скалярного добутку .

З означення добутку матриць випливає, чому матриці та повинні бути узгоджені.

Зауваження. Взагалі кажучи , а матриці, для яких властивість зберігається, називаються комутативними.

Добуток матриць має властивості:

а) ;

б) ;

с) ;

д) ;

е) .

§4. Транспонування матриці

Транспонуванням матриці називається таке перетворення цієї матриці, при якому кожний її рядок стає стовпцем з тим самим номером. В результаті такого перетворення отримується матриця, що називається транспонованою по відношенню до даної і позначається або .

Приклад:

1ст. 2ст. 3ст.

.

Квадратна матриця називається симетричною, якщо вона рівна своїй транспонованій: . У симетричній матриці елементи, симетричні відносно головної діагоналі, рівні: .

Властивості: а) ; в) ;

с) ; д) .

§5. Детермінанти (визначники) та їх властивості

З поняттям матриці тісно зв’язано поняття визначника (детермінанту), яке виникло в зв’язку з задачею розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь з невідомими. Визначник – число, що визначається по елементах матриці.

Нехай - квадратна матриця, відповідний їй визначник (детермінант) будемо позначати або або виписувати всю таблицю елементів. Так, що коли

, то .

Елементами, рядками, стовпцями визначника будемо називати відповідні елементи, рядки, стовпці матриці .

Дамо алгоритм обчислення визначника. Якщо матриця має порядок , тобто , то - самому елементу. Якщо - матриця 2-го порядку, то визначник рівний числу, що є різницею добутків елементів головної та допоміжної діагоналі, тобто .

Припустимо, що введено поняття визначника -го порядку. Тепер розглянемо матрицю -го порядку. Мінором елемента матриці називають визначник, що отримується з даної матриці після викреслювання -го рядка, та -го стовпця, на перетині яких стоїть елемент . А число - алгебраїчне доповнення елемента .

Тоді визначником -го порядку, що відповідає матриці , називається число рівне:

тобто визначник є сума добутків елементів довільного рядка на їх відповідні алгебраїчні доповнення. Аналогічно визначник розкривається і по елементах довільного стовпця:

.

Отримано правило трикутника розкриття визначника 3-го порядку, суть якого в наступному. Визначник 3-го порядку рівний сумі: добутків елементів головної діагоналі, добутків елементів, що стоять при вершинах двох трикутників, з основами паралельними до головної діагоналі; мінус: сума добутків елементів допоміжної діагоналі та добутків елементів, що стоять при вершинах двох трикутників, з основами, паралельними допоміжній діагоналі:

.

Основні властивості визначників

1. При транспонуванні визначник не міняється: , тому всі властивості визначника, справедливі для рядків, будуть справедливими і для стовпців.

2. Якщо всі елементи деякого рядка детермінанту рівні нулеві, то .

3. Спільний множник всіх елементів рядка (стовпця) можна виносити за знак визначника .

4. При перестановці 2-х рядків (стовпців) визначник міняє знак.

5. Визначник, в якого відповідні елементи двох рядків (стовпців) пропорційні, рівний нулеві.

6. Визначник не міняється, якщо до всіх елементів деякого рядка (стовпця) додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помножені на одне й теж число.

7. Якщо кожний елемент деякого рядка (стовпця) є сумою двох доданків, то такий визначник рівний сумі двох визначників: у першому з яких на місці відповідного рядка (стовпця) є перші доданки, в другому – другі.

.

8. Сума добутків елементів довільного рядка визначника на алгебраїчне доповнення відповідних елементів іншого рядка рівна нулеві: .