Рис. 6.2. Объем тела давления

β

h

где – объем тела давления в направлении α. Это объем, заключенный внутри цилиндрической поверхности, образованной лучами, проведенными через каждую точку контура S в направлении α, и ограниченный, с одной стороны поверхностью S, а с другой стороны свободной поверхностью жидкости. (Цилиндрическая поверхность- это поверхность с параллельными образующими.)

(или )

dS

S_α

dP

Часто более удобными для использования могут оказаться выражения для горизонтальной и вертикальной проекций.

Из (6.11) вертикальная составляющая

, (6.12)

а для горизонтальной составляющей имеем

, (6.13)

где – статический момент площадки , а – центр тяжести . Окончательно

(6.14)

(6.15)

Модуль вектора силы определится, как а угол β ее наклона к вертикали (рис. 6.3) – соотношением

Линия действия силы давления жидкости

Рассмотрим последовательно вопросы определения центра давления (положения линий действия) сил:

Линия действия силы от равномерно распределенного давления p₀ на криволинейную поверхность S проходит через центры тяжести площадок .

Линия действия проходит через центр тяжести тела давления.

Точка, через которую проходит равнодействующая ( ) определяется из условия равенства момента равнодействующей сумме моментов ее составляющих ( .

Аналогично определяется положение линии действия для при условии, если известен центр давления для . Его определение в более общем случае будет рассмотрено ниже.

Зная линии действия векторов и их величины, легко находят линии действия силы по схеме рис. 6.3.

0

Т очка 0 , через которую проходит линия действия P, находится на пересечении линий действия . Угол β находится из соотношения (6.15).

Рис. 6.3. Схема действия векторов

Центр давления на плоской площадке

α

0

К оордината центра давления у_ц.д. (рис. 6.4) определяется из соотношения

h

(6.16)

y

Имея ввиду, что

y_цд

(6.17)

S

Получаем

(6.18)

Рис. 6.4. Давление жидкости

где I₀ – собственный момент инерции площадки S , – статический момент инерции площадки S , – центр тяжести площадки S.

Задачи

№ 6.1 (71)

Определить силу Р полного давления на плоскую торцевую стенку горизонтальной цилиндрической цистерны диаметром D=2,2 м, если уровень бензина удельного веса γ=720 кГ/м³ в цистерне находится на расстоянии Н=2,4 м от дна.

Цистерна герметически закрыта, и избыточное давление паров бензина на свободную поверхность составляет h_б=367 мм рт. ст.

Ответ: Р=22,5 т; h_ЦД=1,337 м.

№ 6.2 (86)

Определить силы, растягивающие горизонтальную цистерну, заполненную жидкостью удельного веса кг/м³ по сечениям АА и BB, диаметр цистерны D=5м, длина l=10м.

Рис. 6.5. Обозначение сечений в цистерне с жидкостью

Ответ: т; т.

№ 6.3 (87)

Определить силу Р, действующую на болты шара D = 2м, заполненного водой.

D

Рис. 6.6. Шар, наполненный водой

Ответ: =10,5 кН.

Задача № 6.4 (139)

Железнодорожная цистерна, заполненная нефтепродуктом, удельного веса Движется со скоростью V=36км/час по горизонтальному закруглению радиуса R=300 м. Определить угол наклона поверхности нефти.

Ответ: tg = 0,034.

Задача № 6.5 (141)

Железнодорожная цистерна движется по горизонтальному пути со скоростью . Размеры цистерны: . В некоторый момент времени поезд начинает тормозить и на пути, равном , останавливается. Считая это движение равномерно замедленным, определить полное давление жидкости на днище цилиндра, считая ее удельный вес

Рис.1- Железнодорожная цистерна

Ответ:

Тема 7. Критерии подобия

Первое определение подобия. Процессы называются подобными на натурном объекте (индекс «н») и модели (индекс «м»), если в сходственных точках (А, 0, , ) в сходственные моменты времени отношения одноименных параметров на натурном объекте и модели (рис. 7.1) одинаковы:

. (7.1)

Аналогично для …

Второе определение подобия. Процессы называются подобными на натурном объекте и модели, если в сходственных точках в сходственные моменты времени на натурном объекте и модели одноименные безразмерные (индекс – *) параметры одинаковы:

, , …, (7.2)

где , и так далее.

Основные критерии гидродинамического подобия могут быть получены из уравнения Навье – Стокса

_.

в соответствии со вторым определением подобия.

Введем безразмерные параметры и обозначим их (*). Тогда аналогично , и другие. Где индексом «0» обозначены характерные (постоянные) параметры.

Через безразмерные параметры запишется в виде

.

После деления каждого слагаемого на инерционный размерный комплекс получим

.

Безразмерные комплексы из характерных параметров являются критериями подобия:

1. – число Струхаля, критерий подобия по времени протекания процессов;

2. - число Фруда, критерий подобия по действию массовых сил (поля тяжести);

3. – число Эйлера, критерий подобия по действию сил давления;

4. – число Рейнольдса, критерий подобия по действию сил вязкости.

В соответствии с критериями подобия необходимо, чтобы, например, при подобии по действию сил трения (вязкости) выполнялись условия равенства чисел Re на натуре и модели:

или ,

где , , – масштабы моделирования соответственно по скорости, линейный и по вязкости.

Задачи

№ 7.1 (636)

Насос всасывает соляровое масло, вязкостью υ_м=0,12 Cт в количестве Q_н=100 л/сек по трубе диаметром d_н=200 мм. Из опытов с водой на этой модели определяется минимальная (критическая) глубина расположения конца всасывающей трубы под свободной поверхностью масла в резервуаре, при которой появляется воронка и начинает засасывать воздух. Определить диаметр d_мконца всасывающей трубы на этой модели, количество всасываемой воды _м и критическую глубину H_кн расположения конца всасывающей трубы в натуре, если во время опытов на модели было замечено, что воронка прорывалась во всасывающую трубу при критической глубине H_км= 55 мм. Моделирование должно одновременно производиться по Фруду и Рейнольдсу.

Ответ: d_м=38,2 мм; _м=1,6 л/сек; H_кн= 288мм.

№ 7.2 (639)

Модель самолета, изготовленная в 1/10 натуральной величины, испытывается на авторотацию в потоке воздуха и воды. Найти, во сколько раз увеличатся скорость и угловая скорость модели по сравнению со скоростью натуры, если соблюдается подобие сил вязкости. Также определить, на сколько сократиться при этом продолжительность времени происходящих в модели процессов.

Ответ: в воздухе V_М= 10_VН, ω_М = 100ω_Н , t_М= 0,01t_H; в воде υ_М= 0,64υ_Н, ω_М = 6,4ω_Н, t_М= 0,157t_H .

Тема 8. Путевые потери напора Течение вязкой жидкости по трубам

До числа (критического) – течение устойчивое ламинарное, после режим меняется на турбулентный.

Напряжения трения на стенке трубопровода при ламинарном течении

(8.1)

,

при турбулентном

(8.2)

.

При ламинарном установившемся осесимметричном течении несжимаемой жидкости вдоль оси (оси симметрии) трубопровода, пренебрегая изменением давления поперек трубы, из уравнения Навье – Стокса получим

(8.3)

,

где – произвольный радиус, на котором имеет место скорость (рис. 8.1). При =0 скорость .

Интегрирование уравнения (8.3) для распределения скорости по сечению дает:

(8.4)

– параболический закон, а для потерь давления на участке длиной

(8.5)

или

(8.6)

,

где . Расход жидкости через сечение трубы

(8.7)

.

(8.8)

Для ламинарного течения средняя (расходная) скорость

,

(8.9)

– коэффициент путевых потерь при ламинарном течении. Запись

(8.10)

является общей для ламинарного и турбулентного течений. Число

(8.11)

,

где – диаметр трубопровода.

При турбулентном течении

(8.12)

,

где – отсчитывается от стенки трубы; – показатель, определяемый зависимостью , ( при ) [4].

Связь между и определяется соотношением

(8.13)

.

Коэффициент потерь при турбулентном течении (при )

(8.14)

– формула Альтшуля, где – эквивалентная шероховатость трубопровода, берется из справочников по гидравлике. Подробности см. в [4, 1, 3].

Уравнение Бернулли с учетом потерь давления на трение

Для вязкой жидкости уравнение Бернулли имеет вид

(8.15)

,

где , – коэффициенты кинетической энергии (Кориолиса), учитывающие распределение скорости по сечению ( ) трубы, определяются зависимостью

(8.16)

.

(8.17)

Для ламинарного течения , для турбулентного

,

( ); – потери напора на трение на участке ; – суммарные потери на местных сопротивлениях, – коэффициент местных потерь.

(8.18)

Начальный участок формирования потока, на котором происходит стабилизация параболического профиля скоростей условно определяется зависимостью

.

Коэффициент потерь напора на начальном участке

(8.19)

.

Задачи

№ 8.1 (307)

По прямой трубе длиной L= 1 км, диаметром d= 100 мм протекает жидкость со скоростью V= 0,4 м/с, имеющая кинематическую вязкость  = 0,4 см²/с. Определить потерю напора на трение.

Ответ: h_ТР = 5,2 м.

№8.2 (323)

Определить потерю напора в трубе диаметром d = 270 мм и длинной L = =1000 м при Δ_экв = 0,15 мм, если весовой расход нефти 200 т/ч, удельный вес γ = 0,88 т/м³, ν = 0,276 см²/с.

Ответ: h_ТР = 9 м.

№ 8.3 (344)

Труба имеет внезапное расширение от d1=100мм =0,1м до диаметра d2=300мм =0,3м. Определить потерю напора и коэффициент местных потерь напора, если объемный расход Q=35,3 л/с.

Ответ: =64; =0,816м.

Задача №8.4 (323)

Определить потерю напора в трубе диаметром d =270 мм и длинной L =1000 м при Δ_экв =0,15 мм, если весовой расход нефти 200 т/ч, удельный вес γ = 0,88 т/м³, ν = 0,276 см²/с.

Ответ:h_тр =9 м.

№8.5 (325)

Из резервуара по горизонтальной трубе диаметром 50 мм, длиной 20 м вытекает в атмосферу вода. Уровень воды над осью трубы 4 м поддерживается постоянным. Определить расход воды Q, пренебрегая местным сопротивлением и принимая в 1-ом приближении λ=0,03.

Ответ:Q =5.02л/с.

№8.6 (326)

Решить задачу №8.5 (325) во втором и третьем приближении, принимая и считая трубу абсолютно гладкой.

Ответ:Q = 6,7 л/с.

№8.7 (342)

Решить задачу 325, принимая во внимание местные потери напора при входе в трубу _х = 0,5 , в вентиле, установленном на конце = 3,5.

Ответ:Q = 4,39 л/с.

Тема 9. Местные сопротивления. Истечения через отверстия и насадки

Внезапное расширение

На рис.а9.1 показано течение при внезапном расширении при больших .

Из уравнения Бернулли потерянный напор при внезапном расширении при больших на участке 1–2 , а из уравнения импульсов имеем

.

Тогда местные потери напора при внезапном расширении

(8.20)

,

где – коэффициент местных потерь напора (по отношению к ).

Или, если вычислять по формуле

(9.1)

,

то

(9.2)

.

Истечение через диафрагму

На рис.9.2, показано истечение жидкости через диафрагму (отверстие в перегородке).

Потери на диафрагме

(9.3)

.

Коэффициент местных потерь на диафрагме

(9.4)

,

где , а коэффициент поджатия струи определяется зависимостью

(9.5)

,

где – степень сужения канала.

Истечения через отверстия и насадки при постоянном напоре

При истечении жидкости через отверстие на глубине H под свободной поверхностью (рис. 9.3) из уравнения Бернулли

(9.6)

,

где скорость идеальной жидкости

(9.7)

.

Из экспериментов коэффициент скорости при истечении через “малое” отверстие , ( ).

(9.8)

Расход жидкости через отверстие

,

(9.9)

где коэффициент поджатия определяется по зависимости (8.25), а степень сужения для “малого” отверстия, т.е. , и коэффициент расхода, следовательно,

.

Таким образом, скорость при истечении через отверстие почти не меняется по сравнению с , а расход уменьшается примерно на 40%.

При истечении через насадок (короткий трубопровод рис. 9.4) .

Из формулы (9.4), рис. 9.2, , где внутреннее поджатие струи, как и при истечении через отверстие . Тогда

(9.10)

, .

Таким образом, скорость падает примерно на 20%, расход уменьшается также на 20% по сравнению с идеальным истечением.

Задачи:

№ 9.1 (520)

Водопроводе, находящимся под давлением , в результате сквозного проржавления образовался свищ диаметром . Определить суточную утечку воды

Ответ: =16,1м³/сутки.

№ 9.2 (537)

Через цилиндрический насадок длиною =25см и диаметром d=5см, _{приставленный с внешней стороны сосуда, происходит истечение воды при постоянном напоре H=3м. Определить расход воды Q ( без учета и с учетом вязкости воды) и максимальный вакуум hᵥ , достигаемый в пределах насадка.}

Ответ:

Тема 10. Нестационарные течения

10.1 Неустановившиеся течения

Уравнение Бернулли для неустановившегося течения жидкости в трубопроводе имеет дополнительное слагаемое

, (10.1)

при , уравнение Бернулли и имеет вид:

. (10.2)

Задачи:

№ 10.1 (432)

Определить изменение скорости в начальной стадии истечения идеальной жидкости из трубы постоянного сечения, присоединенной к резервуару, а также время , по прошествии которого движение становится стационарным.

Ответ: ; .

№ 10.2 (433)

Решить задачу № 10.1 (432), учитывая потери на трение по длине и при входе в трубу. Определить время , по истечении которого скорость в трубе достигнет 99% от величины скорости стационарного течения . Определить объемный расход Q.

Ответ: .

№ 10.3 (434)

Идеальная жидкость колеблется в U - образной вертикальной трубке сечения d. Длина жидкости столба равна l. Определить период колебания.

Ответ: .

№ 10.4 (435)

Вода по штольне длиною м, диаметром м. поступает в уравнительную башню, имеющую площадь поперечного сечения . Расход воды в штольне м³/сек

Ответ: сек, м.

Рис. 10.1. Штольня

10.2. Гидравлический удар в трубах

Гидроудар возникает при внезапном перекрытии трубопровода. Он достигает максимального значения при “мгновенном” перекрытии и называется “прямым”. Приближенная модель расчета Н.Е. Жуковского строится на следующих положениях.

(10.3)

1. Повышение давления в области торможения жидкости определяется из уравнения изменения импульса

,

где – затормозившаяся за время масса, плотностью в области трубопровода, на длине (с поперечным сечением ); – скорость движения жидкости до перекрытия трубопровода.

(10.4)

Если через обозначить скорость распространения фронта остановившейся жидкости от задвижки к открытому концу трубы (рис. 10.2), , то

.

(10.5)

Тогда из (10.3), (10.4)

.

2. Определим скорость . Скорость зависит от сжимаемости жидкости , определяющей изменение плотности ( ), и от деформируемости трубопровода ( , ), определяющей изменение объема трубопровода ( ).

Из закона сохранения массы в объеме , где для приращения массы за время имеем

(10.6)

или

(10.7)

.

Определим относительное изменение плотности . Так как относительное изменение объема связано с коэффициентом сжимаемости и модулем упругости жидкости уравнением

(10.8)

,

то, учитывая, что

,

а для фиксированной массы

(10.9)

,

из (10.8) будем иметь

(10.10)

.

Определим относительное изменение поперечного сечения трубопровода за счет повышения давления на при гидроударе. Элемент трубопровода представлен на рис. 10.3

Относительное увеличение сечения связано с относительным удлинением окружности трубопровода (радиуса): . Относительное удлинение радиуса можно определить из закона Гука

(10.11)

,

где – модуль линейной упругости (Юнга) материала трубопровода, а напряжение

(10.12)

.

Тогда

(10.13)

.

Подставляя в (10.7) из (10.10) и из (10.13), получаем

(10.14)

,

а из совместного решения (10.5) и (10.14)

(10.15)

.

Таким образом, полученные уравнения (10.5) и (10.15) решают задачу повышения давления при гидроударе, когда время закрытия

(10.16)

,

где – длина трубопровода, и закрытие считается мгновенным.

В случае, если условие (10.16) не выполняется, то используется приближенная зависимость

(10.17)

,

где (на рис. 10.4 показан характер изменения давления при расчете гидроудара по Н.Е. Жуковскому).

Задачи:

№ 10.5 (422)

Определить объём воды V , который следует накачать в трубопровод диаметром м, длиной м, если опрессовка трубопровода производится водой при давлении Па, толщина стенок трубы м, материал- сталь: , .

Ответ:

№ 10.6 (446)

По трубопроводу со средней скоростью м/с перекачивается вода. Трубы стальные с внутренним диаметром м; толщина стенок м. Определить по Жуковскому величину ударного давления в трубопроводе при мгновенном закрытии задвижки. Модуль упругости стали Н/м², модуль объемного сжатия воды Н/м².

Ответ: кг/см².

Часть 2. Решения задач Тема1. Аэродинамические силы и коэффициенты

Задача №1.1

Коэффициент запаса статической устойчивости ЛА

n=(ξ_dΣ− ξ_Т)/l. (1)

Из условия известны ξ_Т и l. Нужно найти суммарный коэффициент центра давления ξ_dΣ ЛА. В общем случае ξ_dΣ определим с помощью уравнения моментов сил, действующих на ЛА относительно носа аппарата (рис.1.1).

Аэродинамический момент относительно т.0 равен произведению суммарной силы на центр давления ЛА, т.е.

М_о= N_Σξ_dΣ=N_кξ_dк+ N_цξ_dц, (2)

где N_Σ= С_N^α_к+цq_∞S_мα; N_к= С_N^α_кq_∞S_мα; N_ц= С_N^α_цq_∞S_мα; S_м=πd²/4.

Подставив в уравнение (2) значения сил, разделим его на С_N^α_кq_∞S_мα и получим:

ξ_dΣ=(С_N^α_к ξ_dк+ С_N^α_ц ξ_dц)/ С_N^α_к+ц (3)

В уравнении (3) неизвестными остаются ξ_dц и С_N^α_ц. Найдем их по формулам:

ξ_dц=l_к+0,5l_ц,

С_N^α_ц= С_N^α_к+ц−С_N^α_к.

В соответствии с уравнением (2):

ξ_dΣ=(2·4/3+1·6)/3=2,9м.

Подставим полученное значение ξ_dΣ в (1):

n=(2,9−5,5)/10=−0,26.

Задача №1.2

Когда к ЛА добавится оперение в уравнении моментов относительно т.0 появится еще одно слагаемое (N_оп) N_Σξ_dΣ= N_кξ_dк+ N_цξ_dц+ N_опξ_dоп,

где N_оп − сила, действующая на оперение.

N_Σ= С_N^α_Σq_∞S_мα −сила, действующая на весь летательный аппарат.

N_к= С_N^α_кq_∞S_мα, N_ц= С_N^α_цq_∞S_мα, N_оп= С_N^α_опq_∞S_опα –силы, действующие на изолированные элементы.

Для решения задачи не хватает параметра С_N^α_Σ, который можно найти разделив уравнение N_Σ= N_к+ N_ц+ N_оп на q_∞S_мα. Из этого получим:

С_N^α_Σ = С_N^α_к+ С_N^α_опS_оп / S_м+ С_N^α_ц.

Отсюда

(С_N^α_кξ_dк+ С_N^α_цξ_dц+ С_N^α_опξ_dопS_оп / S_м)/( С_N^α_к+ С_N^α_опS_оп / S_м+ С_N^α_ц)=ξ_dΣ.

Подставим значения в получившееся уравнение и получим:

ξ_dΣ=(2·4/3+1·6+2·(10−0,5)·4/π)/(2+2·4/π+1).

ξ_dΣ=5,9.

n=(5,9−5,5)/10=0,04.

Задача №1.3

Для крылатого ЛА в качестве характерной площади принимается площадь крыльев в плане S_кр, включая подфюзеляжную часть.

Сила N_сам запишется:

N_сам= С_Nсамq_∞S_кр,

где С_Nсам= С_N^α_самα;

С_N^α=∂С_N/∂α при α=0.

Для самолета N_сам определится как сумма составляющих сил

N_сам= N_кр+ N_корп+ N_опер, (1)

где N_кр, N_корп, N_опер−силы, действующие на крылья, корпус, оперенье, которые можно найти по формулам:

N_опер= С_N^α_оперq_∞S_оперα;

N_кр= С_N^α_крq_∞S_крα;

N_корп= С_N^α_корпq_∞S_корпα,

где, S_кр= S'_корп+ S'_кр; S'_корп=d·b;S'_кр=2·a·b; S_м= S_корп=πd²/4.

Подставим эти данные в уравнение (1) и сократим на q_∞S_крα. Получим

С_N^α_ЛА = С_N^α_крS'_кр/ S_кр+ С_N^α_корпS_корп/ S_кр + С_N^α_оперS'_опер / S_кр,

где S'_опер=2S_опер.

В результате получим:

С_N^α_ЛА=2*6/7+2*0,785/7+2*1/7=2,22.

Положение центра давления определим из уравнения моментов относительно носка ЛА

N_самX_dсам= N_крХ_dкр +N_корпХ_dкорп +N_оперХ_dопер (2)

Уравнение (2) разделим на q_∞S_кр:

С_N^α_сам X_dсам= С_N^α_крХ_крS'_кр/ S_кр+С_N^α_корпХ_корпS_корп/ S_кр + С_N^α_оперХ_оперS'_опер / S_кр

2,22 X_dсам=2*3,5*6/7+2*3,5*0,785/7+2*3,5*1/7

X_dсам=3,96м

X_dсам= X_dсам /l=0,57

Задача №1.4

N₂

N₁

g

x_d1

x_T

x_d2

l_к.о

l₁

l₂

Рис.1.2.Расчетная аэродинамическая схема

Коэффициент запаса статической устойчивости ЛА:

n=(x_d2−х_T)/ l₂. (1)

В первом случае (имеем коническое тело с заданной массой) аэродинамический момент относительно центра тяжести направлен в сторону увеличения угла атаки (n<0), что приведет к потере устойчивости.

Чтобы увеличить запас статической устойчивости, к телу присоединяют невесомую коническую обячейку. Центр тяжести остается на прежнем месте, а центр давления смещается ближе к донной части.

Для конической поверхности центр давления находится на 2/3 длины от носа.

Тогда x_d2=2/3 l₂, где l₂= l₁+ l_к.о., х_T=3/4l₁.

Подставив эти данные в выражение (1), получим:

n=(2/3 l₁+2/3 l_к.о.− 3/4 l₁)/(l₁+l_к.о)

Выразим из этого уравнения l_к.о:

l_{к.о. .}=(1/12+n) l₁/(2/3−n)

Подставим значение в уравнение и получим:

l_{к.о. .}=0.45м.

Задача №1.5

Для бескрылого ЛА в качестве характерной площади принимают площадь поперечного сечения корпуса − площадь миделя.

Сила лобового сопротивления ракеты X_ЛА= С_хЛАq_∞S_м.

В данном случае будем считать, что на ракету действуют составляющие сил от давления. Составляющих сил от трения нет. Тогда Х_р= Х_р^корп+ Х_р^дон,

где Х_р^корпи Х_р^дон− силы сопротивления от действия распределенного давления, действующие на изолированные элементы.

X_р= С_{х ЛА}q_∞S_мХ_р^корп = С_х^корпq_∞S_мХ_р^дон = С_х^донq_∞S'_дон,

где S'_дон-площадь донного среза, создающего сопротивление (рис.1.3).

С_{х ЛА}q_∞S_м= С_х^корпq_∞S_м+ С_х^донq_∞S'_дон

С_хЛА= С_х^корп+ С_х^донS'_дон/ S_м

Рис. 1.3. Площадь донного среза

В первом случае S'_дон =S_дон, так как двигатель не работает; во втором случае S'_дон= S_дон-S_сопл, двигатель работает; в области сопла сопротивление не создается.

С_хЛА=0,3+0,15*(0,5-0,3)/0,7=0,34.

Задача №1.6

Рис.1.4. Обтекаемое тело

Сила давления ветра

X=q_∞SC_x,

где S–характерная площадь. S=DH.

q_∞–скоростной напор набегающего потока воздуха. ,

_∞–плотность воздуха. Из уравнения Менделеева–Клапейрона

.

Для воздуха .

Выражая силу давления ветра, получим

,

=200,4кг.

Задача №1.7

Давление ветра P на пластину указателя скорости, площадью :

Вес пластины:

Уравнение равновесия пластины:

.

Подставим сюда значения P,G,X. После сокращения получим:

Задача №1.8

В соответствии с рис.1.5 для решения данной задачи воспользуемся формулой

О_х

Рис.1.6.Схема приложения сил (перенести в часть первую)

,

где м – площадь воздушного змея, – скоростной напор, – плотность воздуха, где p= –атмосферное давление, кг/м -плотность ртути при [1], - изменение плотности от температуры, кг/м _. p= =102992,2 Па.

кг/м

Дж/кг К – газовая постоянная воздуха.

Скоростной напор

Па,

=24,7 Па.

Составим проекции действующих сил на оси

(1)

(2)

Подставим значения в (1) и (2):

K Па, (3)

K Па. (4)

Разделив (4) на (3), получим

.

Угол между направлением нити и вертикалью

.

_.

Сила натяжения нити:

K =22,3Н=2,28кг.

(Ответ: ,K=2,28кг. В результате решения задачи, полученные значения, равны значениям в условии задачи )

Задача №1.9

Cкорость движения тела можно заменить скоростью набегающего потока V=V_.

Сила лобового сопротивления

X=q_∞S_мC_x,

где q_∞–скоростной напор набегающего потока воздуха.

,

_∞–плотность воды. Примем .

Выражая силу давления воды, получим

,

=114,8кг.

Мощность данной силы найдем через выражение

,

=23л.с.

Задача №1.10

Скорость парашютиста равна скорости набегающего потока V=V_∞.

Поскольку скорость спуска парашютиста равномерная, то из второго закона Ньютона:

X=G.

Подъемная сила

X=q_∞SC_x,

где S–характерная площадь.

.

q_∞–скоростной напор набегающего потока воздуха.

,

_∞–плотность воздуха. Из уравнения Менделеева–Клапейрона

.

Для воздуха .

Собирая все формулы воедино и выражая скорость набегающего потока, получим

,

.

Задача №1.11

Скорость спускающегося груза равна скорости набегающего потока V=V_∞. (рис.1.5)

Поскольку скорость спуска груза равномерная, то из второго закона Ньютона:

X=Q.

Рис. 1.8 Падающий груз

Подъемная сила найдется как

X=q_∞SC_x,

где S–характерная площадь. Найдется как

.

q_∞–скоростной напор набегающего потока воздуха. Найдется как

,

где _∞–плотность воздуха. Найдется из уравнения Менделеева–Клапейрона

.

Для воздуха .

Собирая все формулы воедино и выражая вес груза, получим

,

=3,68кг.

Тема 2. Уравнения неразрывности, импульса, Бернулли

Задача №2.1

В качестве важных сечений обозначим сечения 1, 2, 3.

За нулевой уровень примем сечение 1.

Для определения расхода воды и давления у нижнего основания воспользуемся уравнением Бернулли для несжимаемой жидкости выраженное в высотах.

V²/2g + y + P/(ρg) = C

VS = const – уравнение неразрывности.

Запишем итоговое уравнение для 3-х, важных сечений.

V₁²/2g + y₁ + P₁/(ρg) = V₂²/2g + y₂ + P₂/(ρg) = V₃²/2g + y₃ + P₃/(ρg);

(1) (2) (3)

где V_1, V₂, V₃ – соответственно скорости в первом, втором и третьем сечениях.

P₁, P₂, P₃ – соответственно давления в первом, втором и третьем сечениях.

y₁, y₂, y₃ – высоты важных сечений, относительно нулевого уровня.

ρ – плотность жидкости.

g – ускорение свободного падения.

Из условия задачи: y₁ = 0, P₂ = P₃ = P_атм, y₂ = h, y₃ = H+h, V₃ = 0.

Объединяя (2) и (3) найдем V₂:

V₂²/2g + y₁ + P₂/(ρg) = V₃²/2g + y₃ + P₃/(ρg),

подставим значения:

V₂²/2∙9,8 + 0,5 + 10⁵/(1000∙9,8) = 0 + (8+0,5) + 10⁵/(1000∙9,8), откуда

V₂= 12, 52 м/с.

Найдём Q из выражения Q = V₂S₂:

Q = 12,52 (0,01²π)/4 = 9,8∙10^-4 м³/с = 0,98 л/с.

Теперь найдем V₁:

V₁ = V₂S₂/S₁,

подставим значения:

V₁ = 12,52 ((0,01²π)/4) /((0,05²π)/4) = 0,5 м/с.

Объединяя (1) и (2) найдем P₁:

V₁²/2g + y₁ + P₁/(ρg) = V₂²/2g + y₂ + P₂/(ρg),

подставим значения:

0,5²/2∙9,8 + 0 + P₁/(1000∙9,8) = 12,52²/2∙9,8 + 0,5 + 10⁵/(1000∙9,8)

Откуда P₁ = 83000 Па ≈ 0,83 атм.

Задача №2.2

Разность давлений между входным сечением и выходным:

∆p=p₁– p₂ ,

где: p₁ - давление во входном сечении;p₂ - давление в выходном сечении.

Запишем уравнение Бернулли:

V₁² /2 + g y₁ + p₁/ρ= V₂² /2 + g y₂ +p₂/ ρ,

где: y₁=0 т.к. нулевое положение находится на месте интересующего нас сечения;

y₂=δ/2=0,1/2=0,05 м;

V₁ - скорость потока во входном сечении;

V₂ - скорость потока в выходном сечении;

Из уравнения неразрывности V₁ S₁=Q выразим V₁:

V₁ = Q/ S₁,

где:

S₁ = (π d ²)/4 = (3,14 0,04)/4 = 0,0314;

S₁ - площадь первого сечения.

Для определения скорости V₂ воспользуемся равенством:

V₂ S₂=V₁ S₁,

V₂ = (V₁ S₁)/S₂,

где:

S₂ = π D δ = 3,14 1 0,1 = 0.314,

S₂- площадь второго сечения.

Подставляем найденные значения в уравнение неразрывности:

V₁ = 0,3 / 0,0314 = 9,6 м/с;

V₂ = (9,6 0,0314)/0,314 = 0,96 м/с

Выражая значение Δp/ γ = (p₁–p₂)/ γ , из уравнения Бернулли, получим:

Δp/ γ = (p₁–p₂)/ γ = (V₂² –V₁²)/2 g + δ/2 = (0,96² –9,6²)/2 9,81 + 0,1/2 =

=–4,6 м

Задача №2.3

Запишем уравнение Бернулли для сечений 1 и 2:

V₁² /2 + g y₁ + P₁/ ρ = V₂² /2 + g y₂ + P₂/ ρ,

где: V₁ - скорость потока в 1 сечении; V₂ - скорость потока во 2 сечении.

y₁ = δ/2 =0.1/2= 0.05.

Выражаем ΔP/ γ из уравнение Бернулли:

ΔP/ γ = (P₁–P₂)/ γ = (V₂² –V₁²)/2 g + δ/2;

V₂ = ω R = ω D/2 = 10 π D/2 = 10 3.14 1/2 = 15.7 м/с.

Из решения № 2 (167) задачи V₁ = 9.55 м/с

ΔP/ γ = ((15,7) ² – (9,55) ²)/2 9,8+ 0.1/2 = 8 м.

Запишем уравнение Бернулли с учётом вращательного движения и действия центробежного ускорения:

,

где: V_1n – скорость втекающей жидкости по нормали к сечению 1; V_2n – скорость истекающей жидкости по нормали к сечению 2; V_2τ – скорость истекающей жидкости по касательной к сечению 2; y₁=0 – координата первого сечения; p₁ – давление в первом сечении (на входе); p₂=p_атм=1 атм – давление во втором сечении (на выходе);

g∙y₂= g∙δ/2

Рассчитаем Δp при условии, что: V_2τ , V_1n=0, V_2n=0;

тогда = –0,23 атм.

атм,

или

м.

Рассчитаем величину при условии, что в нижнее отверстие поступает жидкость с расходом Q=0,3 м³/с. Тогда скорость на входе будет равна:

м/с

Рис. 2.1. Схема скоростей

Найдём скорость истекающей жидкости по нормали к сечению:

V_2n м/с

Подставляя данные в уравнение Бернулли находим:

,

атм.

= атм

или

м

Задача №2.4

Уравнение установившегося движения для трубки тока:

m (V₂ – V₁) = R + G – (n₁ p₁ S₁ + n₂ p₂ S₂);

Рассмотрим закон сохранения импульса в случае с брандспойтом: давления внутри системы уравновешивают друг друга, следовательно закон сохранения импульса примет вид:

R = m V₁;

S₁ = (π d ²)/4,

где: R - сила, с которой пожарному приходиться удерживать брандспойт; V₁, V₂ - соответственно скорости в первом, втором сечении; m - массовый секундный расход; S_1,2- площадь сечений; ρ- плотность воды.

Уравнение неразрывности:

m = ρ V₁ S₁;

При подстановке получаем:

R = ρ V₁² S₁ = 1000 (15)² (3.14 (0.02)²)/4 = 70,65H=7,065 кг.

Задача №2.5

Для выполнения решений предварительно найдем скорости в сечениях S₁ и S₂.

Скорость потока в 1 сечении V₁ = Q/S₁;

скорость потока во 2 сечении V₂ = Q/S₂.

Из уравнения Бернулли

V₁² /2 + g y₁ + P₁/ ρ = V₂² /2 + g y₂ + P₂/ ρ;

y₁=y₂=0,

Выразим давление во втором сечении:

P₂ = (ρ (V₁² – V₂²))/2+P₁;

P₂ = 1.61 10⁵ Па.

Найдем статические реакции:

R_CТ=R_CТ1+R_CТ2 = ρ₁ S₁+ ρ₂ S₂;

R_СТ1=895 Н, R_СТ2=316 Н, R_СТ=1211 Н= 123,5 кг.

Точка C, приложения R_CТ, определяется из условия:

момент равнодействующей R_CТ относительно точки А равен сумме моментов, составляющих R_CТ1 и R_CТ2.

AC R_CT= AC₁ R_CT1+ AC₂ R_CT2.

Здесь AC₁= d₁/2; AC ₂=d₁/2+2R;

AC=51,9мм.

Динамическая реакция потока определяется:

R_Д = R_Д1 + R_Д2,

где: R_Д1,R_Д2 - соответственно, динамические реакции в первом и во втором сечениях;

R_Д1=ρ Q V₁=ρ Q (Q/S₁)=(ρ Q²)/S₁=(1000 (20 10^-3) ² 4)/3.14 (0.075) ²=

=90,6 H;

R_Д2=ρ Q V₂=ρ Q (Q/S₂)=(ρ Q²)/S₂=(1000 (20 10^-3) ² 4)/3.14 (0.05) ² =

=203,8 H;

Суммарная реакция:

R_Д=294,4 H=30,01кг

Точка D, приложения силы R_Д, определяется из условия: момент равнодействующей R_Д равен сумме моментов, составляющих R_Д1 и R_Д2 относительно точки А.

AD R_Д=AD₁ R_Д1+ AD₂ R_Д2, где AD₁= d₁/2; AD₂=d₁/2+2R;

AD=138,5 мм.

Тема 3. Изэнтропические течения

Задача №3.1

Для решения данной задачи воспользуемся уравнением сохранения энергии

где V– скорость воздуха при сжижении,i – энтальпия , – энтальпия газа в заторможенном состоянии , – теплоемкость воздуха при постоянном давлении. 1000 .

Отсюда скорость:

648,07

Задача №3.2

Для решения задачи воспользуемся четвертой формой уравнения энергии

(1)

где - энтальпия газа на срезе сопла; - скорость движения газов на срезе сопла; - энтальпия в баллоне.

Подставив выражения энтальпии в уравнение энергии, получим:

(2)

Выразим из уравнения (2)

(3)

Для нахождения (температуры в баллоне) воспользуемся уравнением связи между давлением и температурой для изоэнтропических (идеальных адиабатических) процессов.

(4)

Подставим (3) уравнение в (4). Получим:

(5)

Выразим Т₀ из уравнения (5):

° К

Задача №3.3

Для решения используем уравнение энергии для газа:

(1)

из которого выражаем скорость на срезе сопла:

(2)

Квадрат скорости звука находим по формуле:

(3)

Используя соотношение между критическими параметрами и параметрами полного торможения, запишем для температур:

(4)

Запишем уравнение газового состояния для области полного торможения:

(5)

Запишем соотношение для изэнтропического процесса:

(6)

Подставляя из формулы (4) в формулу (3), получим:

(7)

Выразив из уравнения (5), подставим его в уравнение (6), разрешим уравнение (6) относительно :

(8)

Подставляя (7) и (8) в 2, получим формулу для определения скорости истечения газов на срезе сопла:

(9)

С учётом того что p_С = 1 атм или ≈100000 Па, имеем:

Сила тяги струи определится по формуле:

(10)

Из формулы (10) находим:

, (11)

массовый секундный расход

. (12)

Разрешим формулу (12) относительно площади для критического сечения:

, (13)

По формуле (4) находим температуру в критическом сечении:

По формуле (3) найдём скорость истечения газов в критическом сечении:

.

Выражение для плотности газа в критическом сечении:

. (14)

Подставляя из формулы (5), и температуру из формулы (4), получаем:

.

Тогда площадь критического сечения будет равна:

.

Найдём удельную тягу:

.

Геометрические характеристики сопла:

диаметр сопла: ,

диаметр критического сечения: ,

длина сопла: .

Задача №3.4

Для решения задачи воспользуемся уравнением энергии

, (1)

гдеV- скорость потока, i – энтальпия и находится по формулам

, (2)

. (3)

Параметры стратосферы: Т=216,6, =1000 Дж/кг∙К [2].

Подставляя выражения (2) и (3) в формулу (1) получаем:

. (4)

Выразим из формулы (4):

К.

Тема 4.Скачки уплотнения

Задача №4.1

Запишем выражение для скорости тела через число Маха и скорость звука:

V=Ma=a/sin(μ), (1)

где V – скорость тела (самолета), а=346 м/с – скорость звука в воздухе, μ – угол полураствора конуса Маха.

Скорость самолета

V=BD/t (2)

BD=H/tg(μ), (3)

где Н – высота полета. Откуда

V=H/(tg(μ)*t) (4)

Составляем уравнение

a/sin(μ)=H/(tg(μ)*t), (5)

откуда находим:

μ=arccos (ta/H)=arccos (2,15∙346/1000)=0,732=42⁰ , (6)

Подставляя μ в выражение (4), находим V:

V=H/(tg (μ)t)=1000/(tg(42⁰)2,15)=518 м/с.

Задача №4.2

Зная угол между скачком уплотнения и поверхностью иглы, определим число Маха ( ). Примем

,

отсюда

.

Определим температуру набегающего потока ( ). Отношение температуры торможения к температуре набегающего потока через число Маха выражается следующим образом

,

где k=1,4.

Отсюда температура набегающего потока равна

.

Зная , определим скорость звука ( )

_,

где R-газовая постоянная .

.

Найдем скорость набегающего потока

Задача №4.3

Справочные величины:k=1,4 ;R=287Дж/кг·К.

Для нахождения скорости воздуха после скачка воспользуемся соотношениями для связи параметров торможения с критическими параметрами:

где V₁ – скорость потока до скачка; V₂ – скорость потока после скачка; – критическая скорость звука.

Вторым связующим соотношение используем выражение для постоянных теплоемкостей:

где T₀ – температура в форкамере, Т^* – в критическом сечении.

Выражаем и находим Т^* :

ЗнаяТ^*, используя известную зависимость, найдем :

Подставим найденное и найдем V₂ :

.

Задача №4.4

Справочные величины:k=1,4;С_р=287 Дж/кг·К.

Температура, которую показывает термопара, является температурой полного торможения.

Запишем уравнение энергии:

где i₁ и i₂ – энтальпия до и после скачка уплотнения; i₀ – энтальпия торможения; V₁ и V₂ – скорости потока до и после скачка уплотнения; – критическая скорость звука; k – адиабатическая постоянная газа.

где С_р – удельная теплоемкость воздуха при р=const, С_р =1000 Дж/кг·К; k=1,4 для воздуха.

Из выражения найдем V₁, а затем Т₁ :

Задача №4.5

Коэффициент восстановления давления равен

.

Воспользуемся формулой Релея:

.

Отношение давления полного торможения потока, прошедшего скачок (измеренное трубкой полного напора), к давлению на верхней щеке клина (р₁) равно 12, запишется:

где М₁ – число Маха в невозмущенном сверхзвуковом потоке; k = 1,4 – адиабатическая постоянная газа (в данном случае воздуха).

Подставим k в (3.2) и перепишем:

Путем подбора получим М₁ = 3.

Отношение давления полного торможения, измеренного в сверхзвуковом потоке до скачка, к давлению невозмущенного потока:

Выразим и найдем  из выражения

.

Задача № 4.6

Переведем скорость набегающего потока из километров в час в метры в секунду:

Найдем значение числа Маха в невозмущенном потоке:

Используя найденное значение числа Маха (4.1), найдем давление полного торможения за скачком по формуле Релея:

Давление полного изэнтропического торможения:

Задача №4.7

Для нахождения скорости полета воспользуемся следующей формулой:

(1)

где - число Маха, – скорость звука, - скорость полета.

На высоте 15000м известны следующие значения: p=105,67 мм.рт.ст.=0,139ата , Т=216,5 К, a= 295м/с.

Для нахождения числа Маха воспользуемся формулой

. (2)

Соотношение (2) называют формулой Релея, где - давление, определяемое трубкой полного напора, p₁ - давление на высоте 15000м, к=1,4.

Для нахождения числа Маха воспользуемся методом подбора, и определим с точностью до четырех знаков =1,8944.

Теперь воспользуемся формулой (1) и найдем скорость полета

Задача №4.8

Из ,

где ; ; ; ,

можно выразить :

.

Зная тангенциальную и нормальную скорости можно найти :

.

Из выражения

,

следует

.

Задача №4.9

Для того чтобы геометрически найти скорость потока за скачком, необходимо построить план скоростей потока до скачка и после скачка рис 4.6. Для этого в определенном масштабе (в данной задаче масштабный коэффициент ) откладываем вектор скорости . Длина этого вектора на рисунке равна 80мм. Раскладываем вектор на нормальную и тангенциальную составляющие.

Под углом к вектору скорости невозмущенного потока проводим прямую через точку O (полюс плана скоростей). Пересечением этой прямой с вектором получаем точку A. Так как (из теории косого скачка), то вектор равен вектору скорости потока за скачком.

Рис.4.6. План скоростей

Измеряя и умножая длину этого вектора на масштабный коэффициент , получим модуль вектора скорости потока за скачком

Для решения задачи аналитически, воспользуемся следующими соотношениями из теории о косом скачке, из рисунка

 ;

 ;



Тогда скорость потока за скачком равна

Тема 5.Обтекание тел

Задача № 5.1

В соответствии с условием (H=0) можно написать, что скорость звука а=340,28 м/с; плотность воздуха ρ=1,2 кг/м³; адиабатическая постоянная газа k=1,4; кинематическая вязкость ν=1,4607·10^-5 м²/с.

Скоростной напор невозмущенного потока:

, (1)

где – скорость потока. В соответствии с этим скоростной напор будет равняться:

Па.

Для нахождения всех аэродинамических коэффициентов используется коэффициент давления торможения, который для находится по следующей формуле:

Найдем некоторые геометрические параметры конуса. Диаметр основания конуса найдем как:

м,

тогда площадь боковой поверхности будет равна:

м²,

а площадь основания (площадь миделя):

м².

Найдем силу, действующую на боковую поверхность , силу донного сопротивления и силу продольного сопротивления R при α=0°.Для нахождения силы, действующей на боковую поверхность, воспользуемся формулой:

,

где – коэффициент продольной силы (от давления).

,

тогда

H

Найдем силу сопротивления корпуса от давления, действующего на донный срез:

, (2)

где – коэффициент донного сопротивления:

,

где , , тогда

,

соответственно,

.

Используя формулу (2), получим:

H.

Силу продольного сопротивления находим по формуле

,

где – коэффициент силы продольного сопротивления:

, (3)

– коэффициент трения, – число Рейнольдса.

В соответствии с этим коэффициент трения будет ровняться:

(4)

Подставляя в уравнение (3) получим:

,

таким образом

H .

Найдем силу трения , коэффициент нормальной силы и нормальную силу , действующую на конус при

Сила трения

, (5)

где, как указывалось раннее, – коэффициент трения и т.к. он не зависит от угла атаки ( ), то из (4) следует:

.

Используя формулу (5) получим:

H.

Найдем коэффициент нормальной силы:

.

Подставляя данный коэффициент в формулу для расчета нормальной силы:

,

получим:

H

Задача №5.2

Найдем коэффициент давления по формуле

где – угол атаки, – число Маха, V – скорость набегающего потока, a=340 м/с – скорость звука. Тогда

При рад

при рад

Найдём нормальные силы:

где – скоростной напор невозмущённого потока, – плотность воздуха невозмущённого потока. Тогда

^Па.

При рад

^Н;

при рад

^Н.

^{Найдем коэффициент нормальной силы по формуле}

При рад

при рад

Найдём нормальные силы N по формуле:

,

где =S= 1 – площадь пластины в плане.

При рад

Н;

при рад

Н.

Определим коэффициент силы продольного сопротивления по формуле

,

где – коэффициенты для пластины.

,

где – число Рейнольдса, – кинематический коэффициент вязкости потока, – площадь боковой поверхности пластины. Тогда

,

Задача №5.3

Найдем коэффициент давления для нижней поверхности

для верхней поверхности

где рад, ^{Тогда при}

при

Найдем коэффициенты , для профиля ромба

^{Где Тогда}

При

При

Задача №5.4

Найдем для сверхзвуковых скоростей полета коэффициент силы продольного сопротивления:

,

где – коэффициент трения , – Коэффициент продольной силы,

– коэффициент силы донного сопротивления.

где – боковая поверхность конуса, – площадь миделева сечения, – число Рейнольдса, – скорость набегающего потока, – кинематическая вязкость потока, a=340 м/с – скорость звука в набегающем потоке. Тогда

Для сверхзвуковых скоростей полета ( )

при ,

при ,

где ; ; . Тогда

Находим по ньютоновской теории по формуле

,

где – коэффициент давления,

– коэффициент давления полного торможения газа,

.

Коэффициент центра давления для конуса . Тогда

Тема 6. Гидростатика

Задача №6.1

Для полного давления на плоскую торцевую стенку воспользуемся следующей формулой

, (1)

где (2)

– избыточное давление паров бензина.

(3)

– давление столба бензина.

- высота столба бензина над центром тяжести;

- площадь торцевой стенки.

Подставив, уравнения (2), (3) в (1), получим:

. (4)

Найдём и :

м² (5)

м, (6)

где м⁴– собственный момент инерции стенки.

м – высота столба бензина над центром тяжести стенки.

Подставив полученные значения в формулу (6),получим:

Н, или 21,8357 т.

Задача № 6.2 (86)

Сечение ВВ (рис. 6.5.) растягивает вертикальная составляющая силы давления, которая равна

, (1)

где – давление на свободной поверхности, – вертикальная проекция площадки S, на которую действует сила давления, - удельный вес жидкости, заполняющей цистерну,

– объем тела давления.

Давление Р₀ на свободной поверхности уравновешивается внутренним давлением жидкости цистерны, следовательно

;

Объем тела давления:

, (2)

где – объем параллелепипеда, – объем цилиндра (цистерны)

м³,

м³;

Тогда

м³;

Теперь найдем :

кг;

Аналогично сечение АА растягивает горизонтальная составляющая силы давления жидкости, которая равна

, (3)

Как уже было сказано выше, Р₀=0, тогда

,

где – координата центра тяжести цистерны, которая равна половине диаметра, т.е. 2,5 м, – вертикальная проекция .

м²;

Тогда

кг;

Задача №6.3

Запишем выражение для вертикальной составляющей силы давления:

,

где – избыточное давление, – плотность воды при нормальных условиях, – ускорение свободного падения, – объем тела давления.

Объем тела давления найдем по формуле:

,

где – объем цилиндра, – объем шара.

м³;

м³.

Подставляя полученные значения, получим:

м³.

Зная объем тела давления, найдем силу, действующую на болты:

Н .

Задача №6.4

Для решения задачи воспользуемся геометрическими соображениями. Определив значения каждого из векторов, мы сможем найти угол между ними.

Определим инерционное ускорение :

Найдем тангенс угла наклона:

Задача №6.5

Рис.6.7. Система сил, действующих на цистерну.

Сила давления на площадку расположенной под углом находится по формуле:

,

где – объем тела давления в направлении α.

Чтобы определить угол необходимо решить задачу кинематики, так как именно под углом к силе давления на днище цистерны направленно полное ускорение.

Уравнения кинематики:

Спроецируем эти уравнения на ось x:

В этих уравнениях:

.

После подстановки значений в уравнения примут вид:

Так как формула используется при рассмотрении системы в относительном покое, то находится ускорение .

Полное ускорение находится как

Определим угол , так как он необходим для нахождения объем тела давления :

Найдем объем тела давления :

,

,

Определим силу давления на днище цистерны:

Тема 7. Критерии подобия

Задача №7.1

Для решения данной задачи сведем заданные и неизвестные геометрические характеристики к линейному масштабу:

. (1)

Запишем формулу для определения расхода жидкости для натуры и модели:

Перепишем формулу учитывая линейный масштаб:

Итак запишем основные критерии гидродинамического подобия учитывая линейный масштаб через число Рейнольдса и Фрудо, соответственно:

По Рейнольдсу:

=1.

По Фруду:

,

Определим линейный масштаб коэффициента вязкости:

Так как в формуле записанной через число Фруда, можно записать следующее равенство:

(2)

Подставив данное равенство (2) в формулу характеризующуюся через Re, получим:

Определив линейный масштаб из формулы (1) выразим d_м и Н_кн:

Для определения расхода жидкости необходимо подсчитать масштаб:

Количество всасываемой воды определится из формулы:

Задача №7.2

По условию:

Тогда для угловой скорости:

Определим продолжительность времени происходящих в модели процессов:

Следовательно, линейная и угловая скорости, продолжительность времени модели в потоке воздуха равны: V_М= 10V_Н, ω_М = 100ω_Н , t_М = 0,01t_H.

Теперь обозначим коэффициент масштабирования для вязкости:

Вычислим также линейные и угловые скорости, продолжительность времени происходящих процессов для модели в потоке воды:

Следовательно, линейная и угловая скорости, продолжительность времени модели в потоке воды равны: V_М= 0,64V_Н, ω_М = 6,4ω_Н , t_М = 0,157t_H .

Тема 8. Путевые и местные потери напора

Задача №8.1 (307)

Для решения поставленной задачи будем использовать уравнение Бернулли:

Так как труба прямая, то следовательно нет местных сопротивлений на трубе:

В данной задаче не сказано про начальную и конечную скорости (средняя скорость) и уровень трубы один и тот же, также не сказано про начальную и конечные давления, следовательно:

Отсюда:

(1)

где  коэффициент путевых потерь при ламинарном течении:

(2)

где Re число Рейнольдса:

(3)

Задача №8.2 (323)

Определим площадь сечения трубы:

S=π·d²/4,

S=π·0,27²/4=0,057 м² ,

Найдём скорость течения:

V= ,

V=−544/(8624·0,057) =1,107 м/с , Найдём число Рейнольдса для определения характера течения (ламинарный или турбулентный):

Re= V·d/ ν ,

Re=1,107·0,27/0,276·10⁻⁴=1,083·10⁴ .

Re>Re_кр – отсюда следует, что течение турбулентное.

Коэффициент потерь при турбулентном течении

λ_т=0,11·(68/Re+∆_экв/d)^0,25,

λ_т=0,11·(68/1,083·10⁴+0,00015/0,27)^0,25=0,032

Найдём потери напора на трение:

h_тр=λ_т·(V²/2·g)·(L/d) ,

h_тр=0,032·1,107²/2·9,8·1000/0,27=7,41 м,

Задача №8.3 (344)

Из уравнения Бернулли и уравнения импульсов имеем:

, (1)

где – коэффициент местных потерь напора (по отношению к ).

.

Определим площадь сечения трубы для диаметров d₁ и d₂:

;

.

Найдём скорость течения в сечении трубы диаметраd₂если ;

м/с.

Определим – коэффициент местных потерь напора (по отношению к ) воспользовавшись формулой (2):

Найдем по формуле (1):

Задача №8.4 (323)

Определим площадь сечения трубы:

Найдём скорость течения:

где G= 0,055 т/с , γ = 0,88 т/м³, S = 0,057 м².

Отсюда:

Найдём число Рейнольдса для определения характера течения (ламинарный или турбулентный):

,

так как Re>Re_кр – то следует, что течение турбулентное.

Коэффициент потерь при турбулентном течении:

Найдём потери напора на трение:

.

Отсюда

м.

Задача №8.5 (325)

Расход воды определяется по формуле

, (1)

где – площадь сечения трубы, – скорость в трубе.

Для решения задачи воспользуемся уравнением Бернулли с учетом потерь на трение:

, (2)

где – коэффициенты Кориолиса, – плотность жидкости, –давление в резервуаре и трубе соответственно, – высоты искомых сечений, – потери напора на трение, – суммарные потери на местное сопротивлениях.

Исходя из условий задачи, в уравнении =0, т.к. уровень воды поддерживается постоянным; ; Y₂=0; местным сопротивлением пренебрегаем. Тогда уравнение (2) примет вид:

, (3)

где , (4)

. (5)

Подставляя в уравнение (3) выражения (4) и (5) получаем:

, (6)

где .

Теперь из уравнения (6) выражаем :

. (7)

Находим :

.

Теперь воспользуемся формулой (1) и найдем Q:

.

Задача №8.6 (326)

Используя значение скорости , полученное в задаче № 8.5, определим число Рейнольдса

.

Так как полученное число Рейнольдса превышает критическое значение значит, для нахождения во втором приближении применим формулу

,

где – эквивалентная шероховатость, т.к. труба является абсолютно гладкой то

.

Отсюда

.

Воспользуемся уравнением Бернулли с учетом потерь на трение:

. (1)

Исходя из условий задачи, в уравнении , , Y₂=0; местным сопротивлением пренебрегаем. Тогда уравнение Бернулли примет вид:

,

где =Н,

.

Отсюда

,

где .

Из полученного уравнения выражаем :

. (2)

Отсюда

.

Найдем ,используя формулу:

, (3)

где

,

.

Используя значение скорости , полученное во втором приближении, определим число Рейнольдса

Так как полученное число Рейнольдса превышает критическое значение , значит, для нахождения в третьем приближении применим формулу

.

Для определения скорости , воспользуемся уравнением Бернулли

,

отсюда

.

Найдем :

.

Задача №8.7 (342)

Для решения данной задачи воспользуемся уравнением Бернулли с учетом потерь на трение

,

где α₁, α₂ –коэффициенты, в нашем случае α₁= α₂ = 1; V₁, V₂ – скорости течения потока на входе в трубу и на выходе из нее, Р₁, Р₂ – давления на разных концах трубы,y₁, y₂ − высоты сечений относительно нулевого уровня,h_тр(1-2), Σh_м(1-2) − потери на трение и местные сопротивления на участке 1−2,g − ускорение свободного падения,ρ − плотность жидкости.

.

В данной формуле, из которой определяются потери на трение, λ − коэффициент потерь, l − длина трубы, d − ее диаметр. Суммарные местные потери определяются из формулы

.

Применимо к условиям данной задачи (Р₁= Р₂=Р_атм; y₁=H; y₂=0; V₁=0) уравнение Бернулли упростится до вида

,

откуда скорость потока определится как

.

Принимая g= 9,8 , H = 4 м,l = 20 м, d = 0,05 м, λ = 0,03, ζ_вх = 0,5, ζ_вен = 3,5, получим

.

Расход жидкости определяется по формуле

Q = V₂·S₂ ,

где S₂ − площадь выходного сечения трубы,

S₂ = π·d²/4=3,14·0,05²/4=0,0019625 м².

Q = 2,21·0,0019625=0,0043371 =4,33 .

Тема 9. Истечения через отверстия и насадки при постоянном напоре

Задача № 9.1 (520)

Расход жидкости через отверстие находиться по формуле:

;

;

,

где коэффициент поджатия = 0,6 (для малого отверстия); коэффициент скорости = 0,97…0,98; - скорость идеальной жидкости; - площадь отверстия, через которое происходит утечка воды; плотность воды =1000кг/м³.

;

1сутки = 86400с;

=16,1м³/сутки.

Ответ: =16,1м³/сутки.

Задача № 9.2 (537)

Расход воды (без учета вязкости) через насадок определяется по формулам:

;

;

где - скорость идеальной жидкости; - площадь струи в насадке; = 1 - коэффициент расхода;

Расход воды (с учетом вязкости) находится по формуле:

где - скорость жидкости на выходе из насадка; = 0,8 - коэффициент скорости при истечении через насадок; - площадь струи при выходе;

Максимальный вакуум – напор в узком сечении, находится из уравнения Бернулли

;

;

, взаимно уничтожаются; из уравнения неразрывности находим скорость струи:

отсюда найдем максимальный вакуум

Тема 10. Нестационарные течения

10.1 Неустановившиеся течения

Задача №10.1

Запишем уравнение Бернулли:

;

С учётом того, что:

; ; ; ; ;

- потери на трение на участке ; - потери напора на участке при движении с увеличением скорости; - потери при входе в трубу, будем иметь:

;

;

;

-скорость стационарного течения:

.

Задача №10.2

Запишем уравнение Бернулли:

;

С учётом того, что:

; ; ; ; ;

- потери на трение на участке ; - потери напора на участке при движении с увеличением скорости; - потери при входе в трубу , будем иметь:

;

;

;

-скорость стационарного течения:

;

Определим время t, за которое скорость в трубе достигнет ;

;

;

, где ;

;

;

, следовательно, .

Найдём объёмный расход .

Используя предыдущую зависимость, запишем:

;

;

; .

Тогда

.

С учётом того, что , имеем

;

.

Умножим обе части на

;

;

Умножив обе части на S трубы, получим выражение для объёмного расхода:

.

Задача №10.3

Уравнение U- образной вертикальной трубки может быть представлено уравнением уравнительной башни

Рассмотрим колебания идеальной жидкости в U- образной вертикальной трубке как колебания математического маятника

,

где - приведенная длина математического маятника.

Отсюда, период колебаний

.

Задача №10.4

Запишем уравнение изменения удельной энергии между сечениями 0­­­­­ – 0 и 1– 1, если пренебречь трением, имеет следующий вид:

, (1)

где - скорость перемещения уровня в башне площадью сечения , - скорость в штольне площадью сечения . При этом расход , равен сумме расходов и ; имея в виду, что - расход воды, поступающей к турбине, - скорость воды в сечении 0 – 0, а также скорость малы по сравнению со скоростью , их квадратами можно пренебречь. Тогда уравнение (1) примет вид

, (2)

причем в силу сказанного выше

(3)

(4)

На основании этих уравнений уравнение (2) может быть представлено следующим образом:

. (5)

Это есть основное уравнение уравнительной башни.

Если внезапно прекратить отток воды из башни в турбину, то и . При этом из (5) получим:

.

Это уравнение имеет интеграл

.

Период колебаний

Амплитуда колебаний

10.2. Гидравлический удар в трубах

Задача №10.5 (422)

Относительное изменение объёма связано с коэффициентом сжимаемости следующим выражением

При постоянной массе относительное изменение объёма равно

где W – внутренний объём участка трубопровода, который находится по формуле

Относительное изменение сечения трубопровода составляет

где S – площадь сечения трубопровода, которая находится по формуле

D – средний диаметр трубопровода

Тогда

Объём воды, который следует накачать в трубопровод составляет

Задача №10.6 (446)

Повышение давления в области торможения жидкости находится по формуле

, (1)

где - плотность воды (0,001кг/м³), с- скорость распространения фронта остановившейся жидкости от задвижки к свободному концу трубы, - скорость воды до перекрытия трубопровода.

Скорость с определяется по формуле

, (2)

где - модуль объемного сжатия воды, - модуль упругости стали, - средний диаметр трубопровода, который определяется по формуле

,

где - внутренний диаметр трубопровода, - толщина стенки трубы.

Подставив (2) в (1), будем иметь

Н/м² =

=12,7 кг/см².

Приложения приложение №1. Параметры воздуха.

Параметры воздуха на различных высотах (стандартная атмосфера)

Высота Н, км	Темпе­ратура К			Скорость звука , м/сек	Кинемати­- ческая вязкость м2/сек	Ускоре­ние сво­бодного падения тела , м/сек2	Средний молеку­- лярный вес,
0	288,15	1,0000	1,0000	340,28	1,4607∙10-5	9,80665	28,966
0,5	284,90	9,4205∙10-1	9,5282∙10-1	338,36	1,5196	9,80511	28,966
1	281,65	8,8701	9,0751	336,43'	1,5812	9,80357	28,966
1,5	278,40	8,3460	8,6384	334,48	1,6461	9,80203	28,966
2	275,14	7,8458	8,2171	332,52	1,7146	9,80049	28,966
2,5	271,89	7,3716	7,8127	330,55	1,7866	9,79896	28,966
3	268,64	6,9208	7,4237	328,56	1,8624	9,79742	28,966
4	262,13	6,0850	6,6891	324,56	2,0271	9,79435	28,966
5	255,63	5,3338	6,0125	320.51	2,2103	9,79128	28,966
6	249,13	4,6595	5,3895	316,41	2,4153	9,78820	28,966
7	242,63	4,0560	4,8171	312,25	2,6452	9,78514	28,966
8	236,14	3,5182	4,2931	308,05	2,9030	9,78207	28,966
9	229,64	3,0388	3,8132	303,78	3,1942	9,77900	28,966
10	223,15	2,6144	3,3761	299,45	3,5232	9,77594	28,966
11	216,66	2,2393	2,9784	295,07	3,8966	9,77287	28,966
12	216,66	1,9137	2,5453	295,07	4,5595	9,76981	28,966
14	216,66	1,3979	1,8593	295,07	6,2420	9,76369	28,966
16	216,66	1,0213	1,3584	295,07	8,5437	9,75758	28,966
18	216,66	7,4630∙10-2	9,9257∙10-2	295,07	1,1694∙10-4	9,75146	28,966
20	216,66	5,4546	7,2547	295,07 295,07	1,5997	9,74537	28,966
22	216,66	3,9875	5,3033		2,1883	9,73927	28,966
24	216,66	2,9155	3,8776	295,07	2,9929	9,73318	28,966
25	219,40	2,1341	2,8030	296,93	4,1842	9,72710	28,966
28	224,87	1,5736	2,0164	300,61	5,9370	9,72102	28,966
30	230,35	1,1681	1,4613	3304,25	8,3565	9,71494	28,966
32	235,82	8,7337∙10-9	1,0676	307,84	1,1661∙10-3	9,70888	28,966
34	241,28	6,5820	7,8608∙10-3	311,38	1,6135	9,70282	28,966
36	246,74	4,9900	5,8276	314,89	2,2165	9,69676	28,966
38	252,20	3,8042	4,3465	318,36	3,0248	9,69071	28,966
40	257,66	2,9199	3,265 1,6397	321,78	4,0956	9,68466	28,966
45	271,28	1,5436		330,17	8,4977	9,66957	28,966
50	274,00	8,3475-10-4	8,7788∙10-4	331,82	1,5997∙10-2	9,65452	28,966
55	270,56	4,5166	4,8105	329,74	2,8903	9,63950	28,966
60	253,40	2,3806	2,7071	319,11	4,8749	9,62452	28,966
65	236,26	1,2006	1,4642	308,13	8,5151	9,66957	28,966
70	219,15	5,7580∙10-9	7,5712∙10-5	296,76	1,5475∙10-1	9,59466	28,966
80	185,00	1,0995	1,7126	272,66	5,9202	9,56494	28,966
90	185,00	1,8203∙10-6	2,8354∙10-6	272,60	3,5759∙100	9,53536	28,966
100	209,22	3,1987-10-7	4,4075-10-7			9,50591	28,962
120	332,24	2,5217∙10-8	1,0633∙10-8			9,43288	28,624
140	768,00	7,2887∙10-9	2,6748∙10-9			9,38948	28,314
160	1155,3	3,7628	9,0457-10-10			9,33205	27,950
180	1193	2,2199	5,0883			9,27400	27,476
200	1226,8	1,3455	2,9477			9,21750	27,000
225	1269,9	7,4584∙10-10	1,5404			9,14762	26,348
250	1302,8	4,2900	8,3835.10-11			9,07850	25,577
275	1334,6	2,5554	4,7024			9,01021	24,672
300	1358,0	1,5731	2,7364			8,94270	23,731
400	1480	5588∙10-14	0,7342			8,680	19,56
500	1576	1566	0,1806			8,428	18,28
600	1691	5240.10-15	0,5402∙10-12			8,187	17,52
700	1812	2011	0,1879∙10-12			7,957	17,03

Примечания:

1. Данные в приложении №1 до высоты Н = 200 км взяты по ГОСТ 4401—64.

2. Данные в диапазоне высот от 225 до 300 км соответствуют рекомендациям, приводимым в ГОСТ 4401—64.

При Н = 0: 101 328,9 Н/м² = 760мм.рт.ст. = 10332,3 кг/м²;

= 1,225 кг/м³ = 0,12492 .

Приложение №2. Физические свойства газов.

Таблица №1.

Плотность некоторых газов при 00 и 760 мм.Рт.Ст.

Наименование газов	, кг/м3	Наименование газов	ρ, кг/м3
Кислород	1,43	Метан	0,717
Водород	0,09	Окись углерода	1,25
Азот	1,25	Углекислый газ	1,98
Воздух	1,29	Гелий	0,179

Таблица №2.

Зависимость показателя адиабаты для воздуха от температуры

t 0C	0	140	1000	20000
k	1,406	1,405	1,396	1,283

Приложение №3. Международная система единиц (си)

Продолжение приложения №3.

Библиографический список

1. Краснов Н.Ф. Аэродинамика: в 2 ч. Ч.2:Методы аэродинамического расчета: учебник. Изд. 4-е. –М.: Книжный дом «Либроком», 2010. – 416 с.

2. Сидельников Р.В. Аэрогидрогазодинамика: Конспект лекций. – Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2003. – 94с.

3. Краснов Н.Ф. Аэродинамика. Ч. 1: Основы теории. Аэродинамика профиля и крыла: Учебник. Изд. 4-е. –М.: Книжный дом «Либроком», 2010. – 496 с.

4. Дмитриевский А.А., Лысенко Л.Н. Внешняя баллистика. –М.: Машиностроение, 2005. –608с.

5. Краснов Н.Ф. и др. Прикладная аэродинамика. Под редакцией Краснова Н.Ф. Учебное пособие для втузов. М., Высшая школа, 1974. –732с.

6. Яблонский В.С. и Исаев И.А. Сборник задач и упражнений по технической гидромеханике. М., Физматиздат, 1963. –200с.

7. Давидсон В.Е. Основы газовой динамики в задачах. М., Высшая школа, 1965. –208с.

8. Аэродинамика в вопросах и задачах: учеб.пособие для ВТУзов /

Н.Ф. Краснов, В.Н. Кошевой, А.Н. Данилов и др. – М. : Высш. шк., 1985. – 759 с.

9. Краснов Н.Ф., Кошевой В.Н. Управление и стабилизация в аэродинамике: Учеб. Пособие для втузов/ Под ред. Н.Ф. Краснова. – М.: Высшая школа, 1978. –480 с.

10. Основы аэродинамического расчета: Учеб. пособие для студентов втузов. — М.: Высш. школа, 1981. – 496 с.

11. Мельников А.П. Аэродинамика больших скоростей. –М.: Воениздат, 1961, 420с.

12. Герман Р. Сверхзвуковые входные диффузоры. –М.: Физматгиз, 1960. –290с.

13. Сидельников Р.В., Тропин А.Б. Аэродинамика ракет. Расчеты и исследования аэродинамических характеристик летательных аппаратов на ЭВМ: Программно-методический учебный комплекс. Учебное пособие. – Челябинск: Изд. ЮУрГУ, 1997. – 44с.

14. Справочные таблицы параметров атмосферы – ГОСТ 24631–81.