2.5 Проверка однородности дисперсий

Проверка однородности дисперсий производится с помощью различных статистических критериев. Простейшим из них является критерий Фишера, предназначенный для сравнения двух дисперсий. Критерий Фишера (F-критерий) представляет собою отношение большей дисперсии к меньшей. Полученная величина сравнивается с табличной величиной F-критерия.

Если полученное значение дисперсионного отношения больше приведенного в таблице для соответствующих степеней свободы и выбранного уровня значимости, это означает, что дисперсии значимо отличаются друг от друга, т. е. что они неоднородны.

Пример 2. Пусть ; . В данном примере отношение дисперсий равно 5,14/0,324=15,9 при f1=6 и f2=5.

Пользуясь таблицей отношений дисперсий для различных степеней свободы и различного уровня значимости, выбираем наиболее популярный уровень значимости 0,05. В таблице по горизонтали отложены числа степеней свободы для большей дисперсии f1 а по вертикали — числа степеней свободы для меньшей дисперсии f2. Для f1=6 и f2=5 Fта6=4,40. Это значит: вероятность того, что экспериментальное значение F будет больше чем 4,40, равна 0,05 или 5%. Наше Fэксп=15,9. Оно значительно превышает табличное значение.

Так проверяется гипотеза об однородности дисперсий. Наша гипотеза состояла в том, что обе группы экспериментальных данных получены из одной и той же совокупности и дают одинаковое рассеяние. Установили, что одна дисперсия значимо отличается от другой (для выбранного уровня значимости).

Если сравниваемое количество дисперсий больше двух и одна дисперсия значительно превышает остальные, можно воспользоваться критерием Кохрена. Этот критерий пригоден для случаев, когда во всех точках имеется одинаковое число повторных опытов. При этом подсчитывается дисперсия в каждой горизонтальной строке матрицы по формуле 2.1, а затем из всех дисперсий находится наибольшая , которая делится на сумму всех дисперсий. Критерий Кохрена — это отношение максимальной дисперсии к сумме всех дисперсий:

.

С этим критерием связаны числа степеней свободы f1=n—1 и f2=N. Гипотеза об однородности дисперсий подтверждается, если экспериментальное значение критерия Кохрена не превышает табличного значения. Тогда можно усреднять дисперсии и пользоваться формулой 2.1.

Пример 3. В начале главы, показывая, как нужно оформлять журнал, мы привели матрицу 2^3 с двумя повторными опытами. Мы сказали: вот с такой таблицей 4.4 можно приступать к обработке экспериментальных данных. Воспользуемся этой таблицей для расчета дисперсии воспроизводимости. Перепишем ее с целью удобства расчета (таблице 2.6).

Таблица 2.6 – Расчет дисперсии воспроизводимости

Номер опыта	Матрица плани- рования
1	(1)	80,23	81,93	81,08	-0,85	0,722	1,144
2	a	86,50	84,80	85,65	0,85	0,722	1,144
3	b	82,45	82,10	82,27	0,18	0,031	0,062
4	ab	89,50	91,30	90,40	-0,90	0,810	1,620
5	c	85,10	84,80	84,95	0,15	0,023	0,046
6	ac	90,30	89,60	89,95	0,35	0,123	0,246
7	bc	85,60	84,90	85,25	0,35	0,123	0,246
8	abc	88,02	88,48	88,25	-0,23	0,053	0,106
Сумма						2,607

Дисперсия в каждом опыте равна:

.

Максимальная дисперсия оказалась в опыте № 4. Экспериментальный критерий Кохрена равен 6=1,620/5,214=0,31. Табличный критерий Кохрена равен: G=0,68. Экспериментальный критерий Кохрена не превышает значения табличного. Гипотеза об однородности дисперсий подтверждается».

Дисперсия воспроизводимости равна .

Более экономный вариант проверки однородности основан на выделении из всех дисперсий наибольшей и наименьшей. Затем по F-критерию производится проверка, значимо ли они различаются между собой. Если наибольшая и наименьшая дисперсии не отличаются значимо, то дисперсии, имеющие промежуточные значения, также не могут значимо отличаться друг от друга. Тогда всю группу дисперсий можно считать принадлежащей к единой совокупности. В таких случаях нет необходимости в применении критерия Бартлета.

Если дисперсии все-таки оказались неоднородными, то оказывается полезным изменение масштаба для параметра оптимизации. При этом вводится некоторая математическая функция от параметра оптимизации, например квадратный корень или логарифм. Использование таких методов выходит за рамки элементарного анализа, и в случае необходимости экспериментатору целесообразно обращаться за советом к специалисту по планированию эксперимента.