Лабораторная работа 4 Составление динамической модели в оду

Цель работы: изучить способы составления динамической модели и получения аналитических и численных решений дифференциальных уравнений (ДУ), описывающих технологический процесс.

Краткие теоретические сведения

При изучении явлений природы, решении многих задач физики и техники, химии и биологии можно установить связь между величинами (функциями) и скоростями их изменения относительно независимых переменных величин, то есть найти уравнения, в которых неизвестные функции входят под знак производной. Эти уравнения называют дифференциальными.

Простейшим примером дифференциального уравнения первого порядка является уравнение

,

где f(x) – известная, а у = у(х) – искомая функции независимого переменного х. Для получения единственного решения указанного уравнения необходимо задать начальное условие

Дифференциальные уравнения решаются аналитически или численно. Аналитические способы решения некоторых видов ОДУ рассмотрены в методических указаниях к практическим занятием настоящего курса, а также в [21]. Численные способы решения ОДУ рассмотрены, например в [22]. Здесь приведем простейший способ решения задачи Коши.

(1)

Для численного решения задачи 1 дифференциальные уравнения заменяются разностными.

При , получим приближенную запись вида

(2)

Из первого уравнения системы 2 получаем расчетный алгоритм

.

Следует помнить, что прежде чем решать задачу (1) численно, необходимо проверить существование и единственность решения этой задачи.

Это можно сделать с помощью следующей теоремы.

Теорема существования и единственности решения уравнения

(3)

с начальным условием .

Пусть в замкнутой области функции непрерывны. Тогда на некотором отрезке существует единственное решение уравнения (3), удовлетворяющее начальному условию .

При этом можно взять , где a и b указаны выше, а m – любое такое, что .

Последовательные приближения, определяемые формулами

Равномерно сводится к решению на указанном отрезке.

Замечание. Для существования решения достаточно только непрерывности в области R, но при этом решение может не быть единственным.

Методика выполнения работы

Рассмотрим процесс остывания порции металла в лотке. Металл остывает за счет теплообмена с воздухом и лотком.

Исходное дифференциальное уравнение процесса с начальным условием:

(4)

Т_м(0) = Т₀,

где и – площади соприкосновения металла с воздухом и металла с лотком соответственно;

и – коэффициенты теплообмена на границе металл-воздух и металл-лоток соответственно;

Т_м и Т_лот – температуры металла и лотка соответственно,

;

τ – шаг по времени;

m – масса единичного объёма металла;

с – теплоёмкость металла

Найдём аналитическое решение дифференциального уравнения (4), подставив в него выражение для температуры лотка.

Введём подстановку:

Тогда:

(5)

В результате получено уравнение, с помощью которого возможно определить температуру металла в любой момент времени.

Для того чтобы решить уравнение численно, преобразуем уравнение (4):

Получили уравнение, описывающее изменение температуры металла за одну секунду. Для вычисления значения температуры металла в каждый последующий момент времени необходимо знать значение предыдущего шага. Тогда уравнение для определения температуры металла в каждый последующий момент времени будет выглядеть так:

(6)

При выполнении расчёта по уравнению (6), необходимо вычислять значение температуры лотка Т_лот для каждого шага вычислений. В данном примере Т_лот находили по формуле:

.

После ввода исходных данных и выполнения промежуточных вычислений (таблица 4.1), расчёта значений функций (таблица 4.2) представим оба решения на одном графике (рисунок 4.1).

Таблица 4.1

Ввод данных и выполнение промежуточных вычислений

Исходные данные
Температура воздуха	Тв	20	⁰С
Температура металла	Тм	780	⁰С
Температуропроводность на границе металл-воздух	aм-в	20
Температуропроводность на границе металл-лоток	aм-лот	20
Ширина лотка	i	0,2	м
Высота лотка	h	0,2	м
Ширина единичного объёма	l	0,01	м
Теплоёмкость металла	с	1000	Дж/(кг∙К)
Плотность металла	ρ	2200	кг\м3
Шаг по времени	t	60	c
Расчётные данные
Единичный объём металла	V=i∙h∙l	0,0004	м3
Масса единичного объёма	m=V∙ρ	0,88	кг
Площадь соприкосновения на границе металл-воздух	Sм-в=i∙l	0,002	м2
Площадь соприкосновения на границе металл-лоток	Sм-лот=i∙l+2h∙l	0,006	м2
Подстановка	a=Sм-в∙aм-в+Sм-лот∙aм-лот/2	0,1
Начальное значение времени	t	0	сек

Таблица 4.2

Расчёт значений функций

tмин	Tм аналит	Тм числен	Тлот	tмин	Tм аналит	Тм числен	Тлот
0	780,000	780,000	400,000	11	725,085	724,904	372,452
1	774,836	774,818	397,409	12	720,294	720,098	370,049
2	769,707	769,672	394,836	13	715,536	715,324	367,662
3	764,612	764,560	392,280	14	710,809	710,584	365,292
4	759,553	759,484	389,742	15	706,115	705,875	362,938
5	754,528	754,442	387,221	16	701,453	701,199	360,599
6	749,536	749,434	384,717	17	696,823	696,554	358,277
7	744,579	744,461	382,230	18	692,224	691,941	355,971
8	739,656	739,521	379,761	19	687,656	687,360	353,680
9	734,766	734,616	377,308	20	683,119	682,810	351,405
10	729,909	729,743	374,872

Рисунок 4.1 – Графическое представление аналитического и численного решений задачи

Можно видеть, что аналитическое и численное решения совпадают.

Порядок выполнения работы

1. Изучить:

- способы решения дифференциального уравнения;

- методику графического построения решения дифференциального уравнения.

2. Согласно индивидуальному заданию представить решение дифференциального уравнения графически.

3. Оформить результаты работы: распечатать исходные данные и промежуточные вычисления, расчёт значений функций в табличной форме и в виде графика (представив оба решения на одном графике).

Задания

1. Увеличьте время расчета до 1 часа.

2. Измените теплоемкость металла, уменьшив в 10 раз. Как изменилась кривая остывания?

3. Верните теплоемкость к прежнему значению, и попробуйте поочередно менять другие исходные данные. Что влияет на решение?

4. Добавьте воздействие в виде ступенчатого изменения температуры окружающей среды с 20 до 200 град. Почему появилась разница в графиках численного и аналитического решения?

Контрольные вопросы и задания

1. Какое уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением? Назовите известные вам виды ОДУ.

2. Для описания каких процессов применяются ОДУ?

3. Что такое аналитическое и численное решение ОДУ?

4. Что такое начальное условие и задача Коши? Всегда ли у задачи Коши существует и единственно решение?