Лабораторная работа 3 Идентификация математической модели

Цель работы: ознакомиться с разновидностями и методами идентификации математических моделей; провести параметрическую идентификацию полученной модели.

Краткие теоретические сведения

Под идентификацией объектов понимается построение оптимальных в некотором смысле математических моделей по реализации их входных и выходных параметров.

Задача идентификации заключается в количественной оценке степени идентичности модели реальному объекту.

Оценка делается на основе сравнения истиной характеристики объекта F₀ (рис. 3.1), представленной его выходными параметрами Y₀(t), и оценки математической модели этой характеристики F_M, описываемой выходными переменными Y_M, зависящими от входных данных Х(t). Критерием идентичности модели является минимум её ошибки q, вычисляемой чаще всего по формуле

Рис. 3.1. Структурная схема процесса идентификации

Идентификация может быть адаптивной (подстраиваемой или обучаемой) и неадаптивной (не подстраиваемой). При неадаптивной идентификации выбираются или рассчитываются коэффициенты модели и в дальнейшем эти коэффициенты не изменяются.

Основным свойством адаптивной идентификации является то, что коэффициенты математической модели по мере необходимости изменяются или подстраиваются.

В зависимости от априорной (исходной) информации об объекте различают структурную и параметрическую идентификацию.

Предметом структурной идентификации является определение вида функции Y_теор связывающей входные переменные Х. Структурная идентификация включает в себя: постановку задачи; выбор структуры модели и её математическое описание; исследование модели. На этапе параметрической идентификации выполняется экспериментальная проверка модели.

Существующие представления об объекте и выходные объекта отражаются в виде определенной функции Y(Х, b) с неизвестными параметрами (коэффициентами) B=(b₁, …, b_n). Процедуры же конкретной реализации функции основываются на функциональном представлении зависимости выходных переменных модели от входных.

Задача идентификации ставится как задача оптимизации

Q(B)  min, Y  FМ(F0),

где Q – мера расхождения между выходными экспериментальными параметрами объекта и выходными переменными выбираемой модели (суммарная невязка); F_M(F₀) – класс операторов, среди которых выбирается структура модели (при структурной идентификации); F_M(F₀) – допустимая область в пространстве внутренних параметров Y модели (при параметрической идентификации).

Для стохастических объектов предполагается, что свойства случайной составляющей не зависят от входной переменной Х, т.е. полностью оцениваются определенной плотностью вероятности, в качестве которой часто принимают плотность нормального закона распределения.

Структурная идентификация

Выбор структуры модели и её математическое описание осуществляется с учетом характера протекания процесса как объекта моделирования.

Непрерывные металлургические процессы, происходят при непрерывной загрузке материалов и выгрузке продуктов переработки (процесс спекания глинозема, электролиз алюминия, плавка сульфидных руд в печах и т.д.).

Полунепрерывные процессы, характеризуются непрерывной загрузкой материала в течение какого-то времени, проведения процесса, отключением агрегата и выпуска продуктов переработки.

Периодические (циклические) процессы, связаны с разовой загрузкой материалов, проведением технологического процесса и выгрузкой готовых продуктов переработки (выращивание монокристаллов кремния, обжиг керамики).

Для определения структуры модели необходимо решить две задачи.

Во-первых, необходимо выделить входные и выходные параметры объекта по степени их влияния на конечный целевой показатель. При построении структуры модели в нее целесообразно включать не все входные и управляющие параметры, а только те, которые оказывают решающее влияние на выходную переменную. Не следует вводить в модель несущественные параметры, т.к. это приводит к значительному усложнению модели.

Во-вторых, определить характер связи между входными и выходными параметрами, т.е. выбрать класс операторов F_M. По характеру связи математические модели делят на линейные и нелинейные. Линейные модели применяют для описания линейных процессов, т.е. процессов, в которых связь между входной и выходной переменными описывается линейной зависимостью. Нелинейные модели применяются для описания нелинейных процессов, т.е. процессов в которых связь между входной и выходной переменными описывается нелинейной зависимостью.

Исследование модели на адекватность объекту осуществляется с помощью анализа остатков модели.

Параметрическая идентификация

Целью параметрической идентификации является уточнение (подстройка) внутренних параметров, т.е. коэффициентов математической модели в тех случаях, когда с помощью структурной идентификации, при которой неизвестная функция объекта Y(Х) представляется в виде известной функции с неизвестными параметрами Y(Х, b), не удается достичь необходимой адекватности модели реальному объекту.

Для уточнения коэффициентов осуществляется экспериментальная проверка модели и решается следующая оптимизационная задача. Образуются невязки выходных параметров модели и объекта на каждом i-том измерении называемые локальными невязками:

qi(b)= Yi– Y(Х, b), i=1, …, n.

Оцениваемые параметры выбираются таким образом, чтобы все эти невязки были минимальны по модулю, т.е. решается задача минимизации n функций:

qi(b)  min, i=1, …, n,

где вектор b может принимать любые значения. Эта задача является многокритериальной и может быть заменена однокритериальной задачей минимизации суммарной невязки

Q(b)  min

на всем пространстве векторов b.

На практике используются какой-либо из следующих критериев: модульный критерий

;

квадратичный критерий

;

показательный критерий

;

минимаксный критерий

;

взвешенный критерий

,

где _i > 0 – заданные веса.

Задача идентификации теперь сводится к оценке суммарной невязки, которая служит основным критерием. При этом результат идентификации будет зависеть от выбора критерия, так как различные критерии могут давать минимумы, отличающиеся друг от друга по значению и положению точек минимума.

Если относительная квадратичная невязка

не превышает 5% от суммы квадратов экспериментальных Y_i выходного параметра объекта, то модель считается адекватной.

Методика выполнения работы

Открыть файл, созданный при выполнении лабораторной работы 2.

Скопировать таблицу на другой лист рабочей книги текущего файла. Удалить данные столбцов D, E, F, H, I и строки с расчетами параметров.

Выбрать критерий параметрической идентификации. Для нахождения модульного критерия в ячейку E2 записать формулу

=ABS(C2-D2)

и скопировать ее на весь столбец E. Для определения квадратичного критерия в ячейку F2 записать формулу

=СТЕПЕНЬ(C2-D2;2)

и скопировать ее на весь столбец F.

Найти суммарную ошибку модели (невязку) с помощью функции СУММ() (рис. 3.2). По минимальному значению суммарной невязки выбрать критерий.

Рис. 3.2. Выбор критерия по минимальной суммарной невязке

Уточнить коэффициенты выбранной модели. Уточнение коэффициентов производится по основному критерию идентификации модели – суммарной невязке, которая при оптимальных значениях коэффициентов должна быть минимальной. Для того чтобы установить, как влияет каждый из коэффициентов в отдельности на выходной параметр Y, необходимо менять значение одного из коэффициентов с определенным шагом, оставляя при этом другие коэффициенты постоянными. Уточнение коэффициентов выполнить по следующему алгоритму.

3.1. Задать начальное значение шага 0,1 в ячейке B15 и рядом в свободных ячейках записать все значения коэффициентов, кроме свободного коэффициента b0.

3.2. В ячейки F3 и I3 записать значение коэффициента b0. Скопировать на весь столбец F увеличение значения свободного коэффициента, а на столбец I скопировать уменьшение значения b0 с шагом 0,1 (рис. 6.3).

3.3. В ячейки G3 и J3 поместить уравнение регрессии, только вместо коэффициента b0 (с учетом знака b0) записать, соответственно, имя ячейки F3

=0,0709*A3^3-1,0676*A3^2+4,907*A3+F3

и скопировать формулу на весь столбец G. Затем в ячейку J3 записать формулу

=0,0709*C3^3-1,0676*C3^2+4,907*C3+I3

и скопировать ее на весь столбец J.

3.4. В ячейку H3 записать формулу вычисления локальной невязки по выбранному модульному критерию с измененными значениями коэффициента в уравнении регрессии =ABS(B3-G3) и скопировать ее на весь столбец H.

Рис. 3.3. Результаты расчета оптимальных значений коэффициентов модели

В ячейку K3 записать формулу

=ABS(B3-J3)

и скопировать на весь столбец K.

3.5. Найти суммарную невязку в столбцах H и K с помощью функции СУММ() (рис. 6.3).

3.6. Меняя значение шага в диапазоне от 0,1 до 0,5, проанализировать значение суммарной невязки.

Т.о. выбрать оптимальные значения коэффициентов модели.

Построить точечный график при изменении коэффициентов b0 и b1 с минимальной суммарной невязкой (рис. 3.4).

Рис. 3.4. Точечный график зависимости выходного параметра от входного при уточнении коэффициентов модели

Порядок выполнения работы

1. Изучить:

- структурную схему процесса идентификации;

- классификацию способов идентификации;

- функции локальной и суммарной невязки.

2. Провести параметрическую идентификацию модели, уточняя коэффициенты b₀ и b₁.

3. Сделать вывод об адекватности модели.

4. Оформить отчет о выполненной работе.

Задания

Провести параметрическую идентификацию модели, построенной в лабораторной работе № 2 «Парный регрессионный анализ».

Контрольные вопросы и задания

1. Дайте понятие идентификации.

2. Опишите структурную схему процесса идентификации.

3. В чем состоит задача идентификации?

4. Что является критерием адекватности модели и объекта?

5. Что такое адаптивная и неадаптивная идентификация?

6. Что является предметов структурной идентификации?

7. Какие задачи необходимо решить при выборе структуры объекта?

8. Дайте классификацию моделируемых процессов по характеру их протекания.

9. Что такое линейные и нелинейные математические модели?

10. Какова цель параметрической идентификации?

11. Что такое функция локальной невязки?

12. Какие критерии могут быть использованы в качестве суммарной невязки?

13. При каком значении суммарной невязки модель считается адекватной?