Лабораторная работа 1 Проведение полного факторного эксперимента

Цель работы: ознакомиться с методом активного факторного эксперимента для построения статической модели объекта управления, изучить методы составления матрицы планирования эксперимента.

Краткие теоретические сведения

Построению статической модели объекта управления экспериментальным методом предшествует его изучение, в процессе которого устанавливают входные (варьируемые факторы x_i) и выходные (y) координаты.

Входные координаты поддерживаются на двух заранее выбранных фиксированных уровнях. Верхний уровень x_{i max} кодируется через +1, нижний x_{i min} через –1. Соотношение между натуральными и кодируемыми переменными имеет вид:

где x_i – натуральная переменная; X – кодированная переменная, принимающая значение +1 или –1; x_i0 – средний (нулевой) уровень, около которого осуществляется варьирование; x_i – интервал (шаг варьирования).

Например, x₁ – температура, изменяющаяся в пределах 100-200С.

При планировании полного факторного эксперимента (ПФЭ) реализуются все возможные комбинации факторов на всех выбранных для исследования уровнях.

Необходимое число опытов определяется из соотношения N = 2ⁿ, где n – число варьируемых факторов.

Схемы проведения экспериментов выражаются в виде матриц планирования, которая для случая n = 2 со столбцом взаимодействия приведена в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Матрица планирования эксперимента

Номер опыта	Входные координаты		X1X2	Выходные координаты
	X1	X2		y
1	+1	+1	+1	y1
2	–1	+1	–1	y2
3	+1	–1	–1	y3
4	–1	–1	+1	y4

Эта матрица полного факторного эксперимента, построенная по принципу ни одной повторяющейся комбинации уровней и факторов, позволяет определить коэффициенты уравнения регрессии вида

y = b0 + b1x1 + b2x2 + b12x1x2.

(1.1)

После того, как составлена матрица планирования и выбран опорный уровень x_i0 и интервал варьирования x_i, можно перейти к постановке опытов, в каждом из которых должна быть реализована одна из строк матрицы. При этом кодированному значению переменной (–1) соответствует нижний уровень варьируемого фактора, а значению (+1) – верхний уровень.

Для устранения предвзятости или субъективизма исследования, а также систематических ошибок, связанных с разогревом или охлаждением агрегатов, старением оборудования, опыты проводятся не в очередности, соответствующей их порядковому номеру в матрице планирования, а в случайном порядке.

В результате реализации на объекте каждого из опытов заполняется последний столбец матрицы, т.е. записываются значения выходной величины y, полученные при проведении соответствующих вариантов опытов (строк матрицы).

Как правило, каждый из вариантов опытов затем повторяется. Число повторений определяется по степени разброса выходной величины y в каждой из строк матрицы. Эта процедура называется проверкой воспроизводимости и осуществляется с использованием критерия Кохрена. Затем можно приступить к расчету коэффициентов уравнения регрессии. Благодаря переходу к кодированным переменным, которые принимают лишь два значения (+1), (–1), и специальному планированию экспериментов, автоматически выполняется условие статической независимости варьируемых факторов (условие ортогональности):

(1.2)

Вследствие этого коэффициенты уравнения регрессии определяются раздельно, независимо друг от друга.

В качестве объекта управления в данной работе выбран стенд, принципиальная схема которого приведена на рис. 1.1. Физическая модель объекта регулирования выполнена в виде трубы 1, в верхней части которой установлена трубчатая электрическая печь 2. Внутрь печи помещен рабочий спай хромель-алюмелевого термоэлектрического преобразователя (термопары) 3. В нижней части трубы расположен вентилятор 4. Между вентилятором и печью находится регулирующий орган, представляющий заслонку 5. Термопара подключается к автоматическому потенциометру 6 (КСП-3).

Измерение расхода в трубопроводе осуществляется сужающим устройством 7 – диафрагмой (ДК), соединенной гибким трубопроводом с дифманометром 8 типа ДМ, который подключен к вторичному прибору 9 типа КСД-3.

Электрическая трубчатая печь, приборы КСП-3, КСД-3 питаются от сети переменного тока напряжением 220 В. Ток и напряжение, питающие трубчатую печь, контролируются амперметром 10 с пределами измерения 0-10 А и вольтметром 11 с пределами измерения 0-250 В, классом точности 0.5. Приводом вентилятора служит электродвигатель 12, делающий 200 об/мин.

Рис. 1.1. Принципиальная схема стенда

Объект регулирования имеет две входные координаты. Первой является расход воздуха Q, который контролируется прибором КСД-3 и регулируется заслонкой 5. Второй входной координатой является подводимая к нагревателю мощность P, которую можно определить как P = IU , где I и U – ток и напряжение на нагревателе, измеряемые амперметром 10 и вольтметром 11.

Выходной координатой объекта является температура нагретого воздуха T_в. Поскольку спай термопары находится при температуре окружающего воздуха T_н, вторичный прибор КСП-3 показывает разность T = T_в – T_н. Эту величину и следует принять за выходную координату модели.

Таким образом, модель объекта управления может быть представлена в виде:

T = f(Q, P(I)).

(1.3)

Целью эксперимента является определение зависимости температуры нагретого воздуха в печи y(T) от силы тока нагревания x₁(I) и величины расхода воздуха, продуваемого через печь x₂(Q).

Методика выполнения работы

Покажем составление матрицы планирования эксперимента на аналогичных данных.

Исследуемый объект управления имеет две входные координаты: x₁ = V_в – объем избыточного воздуха; x₂ = Q_т – количество подаваемого топлива. Выходной координатой y является v_н – скорость нагрева металла. В табл. 1.2 приведены исходные данные.

Таблица 1.2

Уровни варьирования факторов

Уровни	Факторы
	x1, м3/ч	x2, МВт
Нулевой xi0	7103	33.5106
Нижний xi min	4103	30106
Верхний xi max	10103	37106
Интервал варьированияxi	3103	3.5106

Произведем операцию кодирования переменных:

Составляем матрицу планирования эксперимента (табл. 1.3) и проводим эксперимент на лабораторном объекте.

Таблица 1.3.

Матрица планирования эксперимента

Номер опыта	Порядок реализации опытов	Входные координаты
		x1, м3/ч	x2, МВт
1	2 3	4103	30106
2	3 1	10103	30106
3	4 4	4103	37106
4	1 2	10103	37106

Проводим две серии опытов в случайном порядке. Заполняем карту проведения эксперимента и матрицу планирования с кодированными переменными, данные сводим в табл. 1.4.

Таблица 1.4

Матрица планирования с кодированными переменными и взаимодействиями

Номер опыта	Входные координаты		Взаимодействия X1X2	Выходные координаты
	X1	X2		yk1	yk2
1	–1	–1	+1	61	87
2	+1	–1	–1	53	45
3	–1	+1	–1	67	77
4	+1	+1	+1	97	89

По полученной матрице рассчитывают коэффициенты уравнения регрессии на практическом занятии и проверяют адекватность (пригодность) модели.

Порядок выполнения работы

1. Изучить:

- методы активного факторного эксперимента для построения статической модели объекта управления;

- изучить методы составления матрицы планирования эксперимента.

2. Согласно индивидуальному заданию составить матрицу планирования эксперимента.

3. Провести эксперимент, результаты выходных данных занести в матрицу планирования.

4. Оформить отчет о выполненной работе.

Варианты заданий

Составить матрицу планирования эксперимента и его проведение (провести три серии опытов в случайном порядке) для дальнейшего определения зависимости температуры нагретого воздуха в печи y(T) от силы тока нагревания x₁(I) и величины расхода воздуха, продуваемого через печь x₂(Q) для структуры модели:

y = f(x1, x2) = b0 + b1X1 + b2X2 + b12X1X2.

(1.4)

Индивидуальные задания приведены в таблице 1.5.

Таблица 1.5

Варианты матриц планирования

Вариант	Номер опыта	Входные координаты		Вариант	Номер опыта	Входные координаты
		x1, A	x2, м3/ч			x1, A	x2, м3/ч
1	1	3	4	6	1	3.5	2
	2	3.5	4		2	3	6
	3	3	6		3	3.5	6
	4	3.5	6		4	3	2
2	1	3	15	7	1	3.5	10
	2	3	8		2	3	10
	3	14	8		3	3.5	4
	4	14	15		4	3	4
3	1	3	15	8	1	3.5	4
	2	3	8		2	4	4
	3	14	8		3	3.5	9
	4	14	15		4	4	9
4	1	5	10	9	1	3	8
	2	3	4		2	5	2
	3	5	4		3	5	8
	4	3	10		4	3	2
5	1	3.5	7	10	1	3.5	6
	2	3	7		2	2	2
	3	3.5	4		3	3.5	2
	4	3	4		4	2	6

Контрольные вопросы и задания

1. В чем заключается отличие между пассивным и активным экспериментами?

2. Что называют матрицей планирования эксперимента?

3. Определите число комбинаций опытов (строк в матрице планирования) для n=4 входных переменных.

4. Почему опыты проводятся не в очередности, соответствующей их порядковому номеру в матрице планирования, а в случайном порядке?