Вариант 4

1. Найдите и изобразите область определения функции

.

2. Найдите частные производные , , , ,

функции .

3. Покажите, что функция удовлетворяет условию в своей области определения.

4. Найдите полный дифференциал функции .

5. Вычислите приближенно, используя дифференциал:

.

6. Найдите для функции , если , .

7. Составьте уравнения касательной плоскости и нормали в точке к поверхности , определенной неявно уравнением .

8. Исследуйте на экстремум функцию .

9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной линиями , , , .

10. Дана функция , точка А ( 3; 1; 1 ) и вектор .

Вычислите: а) градиент функции в точке А;

б) производную функции в точке А по направлению вектора .

Вариант 5

1. Найдите и изобразите область определения функции

.

2. Найдите частные производные , , , ,

функции .

3. Покажите, что функция удовлетворяет условию в своей области определения.

4. Найдите полный дифференциал функции .

5. Вычислите приближенно, используя дифференциал:

.

6. Найдите , и для функция , если , .

7. Составьте уравнения касательной плоскости и нормали в точке к поверхности , определенной неявно уравнением .

8. Исследуйте на экстремум функцию .

9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной линиями , , .

10. Дана функция , точка А ( 1; 1; 3 ) и вектор .

Вычислите: а) градиент функции в точке А;

б) производную функции в точке А по направлению вектора .

Вариант 6

1. Найдите и изобразите область определения функции

.

2. Найдите частные производные , , , ,

функции .

3. Покажите, что функция удовлетворяет условию в своей области определения.

4. Найдите полный дифференциал функции .

5. Вычислите приближенно, используя дифференциал:

.

6. Найдите для функции , если , .

7. Составьте уравнения касательной плоскости и нормали в точке к поверхности , определенной неявно уравнением .

8. Исследуйте на экстремум функцию .

9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной линиями , , .

10. Дана функция , точка А ( 1; 1 ; 1 ) и вектор .

Вычислите: а) градиент функции в точке А;

б) производную функции в точке А по направлению вектора .

Вариант 7

1. Найдите и изобразите область определения функции

.

2. Найдите частные производные , , , ,

функции .

3. Покажите, что функция удовлетворяет условию в своей области определения.

4. Найти полный дифференциал функции .

5. Вычислите приближенно, используя дифференциал:

.

6. Найдите , и для функция , если , .

7. Составьте уравнения касательной плоскости и нормали в точке к поверхности , определенной неявно уравнением .

8. Исследуйте на экстремум функцию .

9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной линиями , , , .

10. Дана функция , точка А ( 4 ; 3 ; 3 ) и вектор .

Вычислите: а) градиент функции в точке А;

б) производную функции в точке А по направлению вектора .