Вопросы к седьмому модульному контролю

1. Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла. Определение двойного интеграла.

2. Достаточные условия интегрируемости для двойного интеграла

3. Теорема о среднем для двойного интеграла и ее следствия.

4. Сведение двойного интеграла к повторному: случай прямоугольника. Следствия. Пример.

5. Сведение двойного интеграла к повторному: общий случай. Пример.

6. Замена переменных в двойном интеграле. Случай полярных координат.

7. Вычисление интеграла Пуассона.

8. Геометрический смысл якобиана.

9. Вычисление объема криволинейного цилиндра.

10. Определение и вычисление площади поверхности.

11. Вычисление массы неоднородной кривой. Определение и простейшие свойства криволинейного интеграла первого рода.

12. Вычисление криволинейного интеграла первого рода.

13. Вычисление работы силового поля. Определение и простейшие свойства криволинейного интеграла второго рода.

14. Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Следствия и примеры.

15. Связь криволинейных интегралов первого и второго рода.

16. Теорема Грина-Остроградского. Следствия и замечания.

17. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

18. Условия потенциальности. Вычисление потенциала. Пример.

19. Формула Ньютона-Лейбница для криволинейного интеграла.

20. Тройной интеграл: определение, сведение к повторному интегралу, замена переменных (обзор). Цилиндрические и сферические координаты.

21. Вычисление массы неоднородной изогнутой пластинки. Определение и простейшие свойства поверхностного интеграла первого рода.

22. Вычисление поверхностного интеграла первого рода.

23. Вычисление потока жидкости через поверхность. Определение и простейшие свойства поверхностного интеграла второго рода.

24. Вычисление поверхностного интеграла второго рода. Следствия.

25. Теорема Гаусса-Остроградского. Следствия и замечания.

26. Теорема Стокса. Следствия и замечания.

Вопросы к восьмому модульному контролю

1. Скалярные и векторные поля в пространстве. Дивергенция, градиент, ротор.

2. Поток и дивергенция векторного поля. Физический смысл дивергенции.

3. Циркуляция и ротор векторного поля. Физический смысл ротора.

4. Потенциальные поля. Критерий потенциальности.

5. Соленоидальные поля. Критерий соленоидальности.

6. Векторная форма записи формул Гаусса-Остроградского и Стокса.

7. Теорема о разложении векторного поля.

8. Уравнение неразрывности.

9. Уравнение теплопроводности.

10. Метод Фурье решения одномерного уравнения теплопроводности.

11. Тригонометрическая система функций, её ортогональность на отрезке [0,2π]. Тригонометрические ряды. Ряды Фурье.

12. Ядро Дирихле. Свойства.

13. Лемма Римана. Следствие.

14. Принцип локализации. Признак Дини сходимости ряда Фурье. Следствия.

15. Признак Липшица сходимости ряда Фурье. Следствия.

16. Разложение в ряд Фурье на произвольном отрезке.

17. Разложение в ряд Фурье только по синусам или только по косинусам.

18. Оценка скорости убывания коэффициентов Фурье.

19. Операции над рядами Фурье (интегрирование, дифференцирование).

20. Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических. Теорема Фейера.

21. Ядро Фейера. Свойства.

22. 1-я теорема Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции тригонометрическими многочленами.

23. 2-я теорема Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции многочленами.

24. Замкнутость тригонометрической системы в C₌[-π, π].

25. Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя.

26. Равенство Парсеваля. Обобщенное равенство Парсеваля.

27. Полнота тригонометрической системы в R₂[-π, π].

28. Формальный вывод интегральной формулы Фурье.

29. Свойство коэффициентов a(λ), b(λ).

30. Условия сходимости интеграла Фурье. Признак Дини.

31. Условия сходимости интеграла Фурье. Признак Липшица. Следствия.

32. Преобразование Фурье. Формула обращения.

10