4.Поле равномерно заряженной по поверхности сферы

Обозначим радиус сферы R, и пусть на сфере находится заряд q. Из соображений симметрии следует, что в этом случае

• напряжённость поля в любой точке направлена вдоль радиальной прямой;

• модуль вектора зависит только от расстояния r от оси сферы, то есть E=E(r).

Выберем вспомогательную замкнутую поверхность в виде сферы радиуса r  R. Поток вектора сквозь эту поверхность равен:

. (1.44)

Применяя теорему Гаусса, получим:

. (1.45)

. (1.46)

Если радиус вспомогательной сферы r < R, то заряд заключённый внутри неё, равен нулю, и напряженность электрического поля также будет равна нулю.

1.8. Работа сил электростатического поля. Потенциал

П усть электростатическое поле создаётся неподвижным точечным зарядом q; поместим его в начало координат (рис. 1.14). Возьмём точечный пробный заряд q^' и рассчитаем работу сил поля по его переносу из точки поля 1 в точку 2.

Из механики: работа силы на бесконечно малом перемещении определится формулой:

, (1.46)

где . (1.47)

В этом выражении - напряженность поля, создаваемого точечным зарядом q. Она равна

. (1.48)

Здесь - радиус-вектор точки поля, в которой находится пробный заряд.

Подставим выражения (1.47) и (1.48) в формулу (1.46), получим:

. (1.49)

Так как  , то скалярное произведение , тогда

. (1.50)

Для нахождения работы сил поля по переносу пробного заряда из точки поля 1 в точку 2 проинтегрируем выражение (1.50), получим:

, (1.51)

. (1.52)

Из выражения (1.52) следует, что работа сил электростатического поля, создаваемого точечным зарядом, не зависит от траектории движения заряда и определяется только положением начальной и конечной точек траектории. Следовательно, электростатическое поле является потенциальным.

Из механики: работа сил потенциального поля равна убыли потенциальной энергии системы:

. (1.53)

Здесь и - значения потенциальной энергии пробного заряда в точках поля 1 и 2. Из сравнения выражений (1.52) и (1.53) следует, что потенциальная энергия пробного заряда в электростатическом поле, создаваемом точечным зарядом q, определится формулой:

. (1.54)

Обозначим отношение потенциальной энергии пробного заряда к его величине символом :

. (1.52)

Величина не зависит от величины пробного заряда и определяется свойствами самого поля. Она называется потенциалом электростатического поля.

Потенциал является энергетической характеристикой электрического поля. Его физический смысл можно определить из формулы (1.52):

потенциал численно равен потенциальной энергии единичного положительного заряда в данной точке поля.

Для поля, создаваемого точечным зарядом, потенциал определяется формулой:

. (1.53)

Отметим, что потенциал – величина скалярная и алгебраическая. Потенциал подчиняется принципу суперпозиции полей. Пусть электрическое поле создается системой зарядов. Тогда потенциал поля, созданного системой зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей, создаваемых каждым из зарядов в отдельности:.

. (1.54)