6.6. Энергия магнитного поля. Объёмная плотность энергии

Рассмотрим цепь, содержащую соленоид индуктивностью L, активное сопротивление R, источник постоянного тока и ключ К (рис.6.7). Первоначально ключ находится в положении (2) и цепь замкнута на источник тока. В цепи течет установившийся ток силой , этот ток обуславливает магнитное поле в соленоиде. При отключении источника тока в цепи будет протекать постепенно убывающий ток.

З а время этот ток совершит работу

. (6.40)

Подставим в формулу (6.34) выражение для э.д.с. самоиндукции:

. (6.41)

Для работы тока получим:

. (6.42)

Проинтегрируем выражение (6. 42), получим:

. (6.43)

Ток размыкания совершает работу, при этом магнитное поле в соленоиде исчезает. Эта работа идет на приращение внутренней энергии проводников, то есть на их нагревание.

Выражение (6.43) определяет энергию контура с током; она называется магнитной энергией тока:

. (6.44)

Согласно современным представлениям эта энергия локализована в магнитном поле; таким образом, магнитное поле является носителем энергии.

Формула (6.44) выражает энергию через параметры контура с током. Выразим энергию магнитного поля через характеристики самого поля. Возьмем бесконечно длинный соленоид, его индуктивность выражается формулой:

. (6.45)

Здесь - объем соленоида.

Энергия магнитного поля

. (6.46)

Магнитная индукция поля внутри соленоида

. (6.47)

Из формулы (6.47) выразим и подставим в (6.46), получим:

. (6.48)

Магнитное поле бесконечно длинного соленоида однородно и отлично от нуля только внутри соленоида. Следовательно, энергия заключена в пределах соленоида и распределена по его объёму с постоянной плотностью. Объёмная плотность энергии магнитного поля определится выражением:

. (6.49)

Контрольные вопросы и задания

1. Контур с током площадью 1см² находится в однородном магнитном поле индукцией В=0,1 Тл. Чему равен магнитный поток сквозь контур, если

а) плоскость контура параллельна линиям магнитной индукции

б) плоскость контура перпендикулярна линиям магнитной индукции

в) плоскость контура составляет с линиями магнитной индукции угол 60⁰?

2. М агнитный поток Ф сквозь сечение соленоида равен 50 мкВб. Длина соленоида l = 50 см. Найти магнитный момент p соленоида, если его витки плотно прилегают друг к другу.

3. Квадратная рамка со стороной а=0,05 м и длинный прямой провод с током находится в одной плоскости (рис. 1). Найти магнитный поток, пересекающий рамку, если сила тока в проводнике равна 1А, а х=0,02 м.

4. Квадратная проволочная рамка со стороной а=5 см и сопротивлением R=10 Ом находится в однородном магнитном поле индукцией В=40 мТл. Нормаль к плоскости рамки составляет с линиями магнитной индукции угол 30. Определить заряд q, который пройдет по рамке, если магнитное поле выключить (подсказка: q = ).

5. Сила тока в соленоиде равномерно возрастает от 0 до 10 А за 1 мин, при этом соленоид накапливает энергию 20 Дж. Какая э.д.с. индуцируется в соленоиде?

6. Перпендикулярно линиям индукции однородного магнитного поля индукцией 0,3 Тл движется проводник длиной 15 см со скоростью 10 м/с, перпендикулярной проводнику. Определить э.д.с., индуцируемую в проводнике.

7. На концах крыльев самолета размахом 20 м, летящего со скоростью 900 км/ч, возникает электродвижущая сила индукции 0,06 В. Определить вертикальную составляющую напряженности магнитного поля Земли.

8. Катушка, содержащая 100 витков площадью 15 см², вращается с частотой 5 Гц в однородном магнитном поле индукцией 0,2 Тл. Ось вращения перпендикулярна оси катушки и линиям индукции поля. Определить максимальную электродвижущую силу индукции в катушке.

9. Виток, в котором поддерживается постоянная сила тока I = 60 А, свободно установился в однородном магнитном поле (В = 20 мТл). Диаметр витка d=10 см. Какую работу А нужно совершить для того, чтобы повернуть виток относительно оси, совпадающей с диаметром, на угол  = /3?

10. Какое явление называется самоиндукцией? Запишите выражение для э.д.с. самоиндукции.

11. В чём состоит физический смысл понятия индуктивности? В каких единицах измеряется индуктивность?

12. Объясните, почему при замыкании и размыкании электрической цепи ток изменяется не мгновенно, а постепенно.

13. Запишите формулы, отражающие зависимость силы тока от времени при замыкании и размыкании электрической цепи, содержащей индуктивность; изобразите эти зависимости графически.

14. К акая величина называется временем релаксации? От каких величин зависит время релаксации?

15. Зависимость силы тока от времени при замыкании цепи изображена на рис.2. Сопротивление какой цепи больше, если индуктивности одинаковые?

16. Зависимость силы тока от времени при замыкании цепи изображена на рис.. Индуктивность какой цепи больше, если сопротивления одинаковые?

17. В электрической цепи, содержащей резистор сопротивлением R=20 Ом и катушку индуктивностью L=0,06 Гн, течет ток i₀=20 А. Определить силу тока в цепи через время t = 0,2 мс после ее размыкания.

18. Источник тока замкнули на катушку сопротивлением R=10 Ом и индуктивностью L=0,2 Гн. Через какое время сила тока в цепи достигнет 50% максимального значения?

19. Имеется катушка, индуктивность которой равна 0,2 Гн и сопротивление 1,64 Ом. Найти, во сколько раз уменьшится магнитная энергия тока в катушке после того, как источник тока будет отключен и катушка замкнута накоротко. Промежуток времени t=0,5 с.

20. Объясните причину возникновения вихревых токов (токов Фуко).