С учетом (8.9) для плотности тока смещения получим:
.
(8.10)
В
еличины
и
- векторные; установим их взаимную
ориентацию. Пусть конденсатор заряжается
(рис.8.1, а),
тогда
увеличивается и производная
.
Если конденсатор разряжается (рис.8.1, б), то уменьшается, и в результате также получим: . Выражение (8.10) можно записать в векторной форме:
.
(8.11)
Выражение (8.11) получено для частного случая однородного электрического поля внутри плоского конденсатора. Можно показать, что в общем случае будет справедливо соотношение:
.
(8.12)
Вектор плотности тока смещения равен частной производной по времени вектора электрического смещения.
Несколько замечаний о токе смещения:
Ток смещения эквивалентен току проводимости только в отношении способности создавать магнитное поле.
Токи смещения существуют лишь там, где изменяется во времени электрическое поле.
В диэлектриках ток смещения состоит из двух существенно различных слагаемых. Так как
, (8.13)
то
.
(8.14)
В этом выражении первое слагаемое, обусловлено изменением во времени только электрического поля (истинный ток смещения); второе слагаемое, обусловлено движением связанных зарядов в диэлектрике и называется током поляризации.
В вакууме ток смещения обусловлен только первым слагаемым:
.
(8.15)
На основании изложенного выше можно сделать следующий вывод: в случае переменных электрических полей магнитное поле создается не только токами проводимости, но и токами смещения.
Запишем закон полного тока для магнитного поля в веществе:
.
(8.16)
Здесь i – полный ток; он равен алгебраической сумме токов смещения и проводимости: i= iсм+ iпровод
Токи смещения и проводимости определятся интегралами:
,
(8.17)
.
(8.18)
Здесь - плотность тока проводимости; - плотность тока смещения.
Окончательно получим второе уравнение Максвелла:
.
(8.19)
Циркуляция вектора напряжённости магнитного поля по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов проводимости и смещения сквозь поверхность, натянутую на этот контур.
8.3. Третье и четвертое уравнения Максвелла. Полная система уравнений Максвелла
Рассмотрим сущность третьего и четвертого уравнений Максвелла.
Максвелл обобщил теорему Остроградского-Гаусса на случай любого электрического поля, как стационарного, так и переменного. Третье уравнение Максвелла имеет вид:
.
(8.20)
Здесь ρ- объемная плотность заряда, а интеграл в правой части равен заряду, заключенному внутри поверхности S.
Максвелл предположил, что теорема Остроградского-Гаусса справедлива и для любого магнитного поля, как постоянного, так и переменного.
.
(8.21)
Уравнения (8.5), (8.19), (8.20) и (8.21) образуют полную систему уравнений Максвелла. Выпишем эти уравнения вместе.
а)
;
(8.22)
б) ; (8.23)
в) ; (8.24)
г) . (8.25)
Уравнения Максвелла в сжатой форме выражают совокупность наших сведений об электромагнитном поле. Рассмотрим (ещё раз) содержание этих уравнений.
а) Уравнение является обобщением закона электромагнитной индукции и связывает значения вектора напряжённости электрического поля с временными изменениями вектора . Здесь - векторная сумма напряжённостей электростатического и вихревого полей.
б) Уравнение показывает: поток вектора электрического смещения сквозь любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных зарядов, охватываемых этой поверхностью.
в) Уравнение устанавливает связь между токами проводимости и смещения, и порождаемым ими магнитным полем.
г) Уравнение показывает, что поток вектора магнитной индукции сквозь любую произвольную замкнутую поверхность равен нулю. Линии вектора всегда замкнуты.
Из
уравнений Максвелла для циркуляции
векторов
и
следует, что электрические и магнитные
поля нельзя рассматривать, как независимые.
Изменение одного из них приводит к
появлению другого. Поэтому имеет смысл
лишь совокупность
этих полей,
описывающая единое
электромагнитное поле.
Рассмотрим частный случай.
Пусть
поля стационарны, то есть
,
.
В этом случае получаем:
; (8.26)
;
(8.27)
;
(8.28)
.
(8.29)
Получили две группы независимых уравнений. В этом случае электрическое и магнитное поля независимы друг от друга.
Для нахождения полей по заданным распределениям зарядов систему уравнений Максвелла необходимо дополнить соотношениями, характеризующими свойства среды. Эти отношения называются материальными уравнениями.
Материальные уравнения наиболее просты в случае достаточно слабых магнитных полей, сравнительно медленно меняющихся в пространстве и времени.
Для изотропных сред, не содержащих ферромагнетиков и сегнетоэлектриков, они имеют вид:
;
(8.30)
;
(8.31)
.
(8.32)
Уравнения Максвелла в дифференциальной форме могут быть получены с помощью двух теорем векторного анализа: теоремы Гаусса и теоремы Стокса.
Теорема Гаусса:
.
(8.33)
Это
означает, что поток вектора
сквозь произвольную замкнутую поверхность
равен интегралу от дивергенции
этого вектора по объёму, ограниченному
этой поверхностью.
.
(8.34)
Теорема Стокса:
.
(8.35)
Это означает, что циркуляция вектора , взятая по произвольному замкнутому контуру равна интегралу от ротора этого вектора по поверхности, ограниченной этим контуром.
.
(8.36)
Используя теорему Стокса и первое уравнение Максвелла (8.22), получим:
.
(8.37)
Используя теорему Гаусса и третье уравнение Максвелла (8.23), получим:
.
(8.38)
Используя теорему Стокса и второе уравнение Максвелла (8.24), получим:
.
(8.39)
Используя теорему Гаусса и четвёртое уравнение Максвелла (8.25), получим:
.
(8.40)