Из выражения (7.54) следует:

,

или . (7.55)

Биквадратное уравнение (7.55) относительно Ω эквивалентно двум квадратным уравнениям:

или , (7.56)

или . (7.57)

Так как циклическая частота колебаний Ω не может быть величиной отрицательной, то физический смысл имеют только положительные корни уравнений (7.56) и (7.57):

, (7.58)

. (7.59)

Разность частот и найдем, вычитая из выражения (7.58) выражение (7.59), получим;

. (7.60)

Относительная ширина резонансной кривой равна

. (7.61)

При малых затуханиях добротность колебательного контура определяется формулой

. (7.62)

Сравнивая выражения (7.61) и (7.62) получим формулу для определения добротности контура:

. (7.63)

Полуширина резонансной кривой и резонансная частота определяются экспериментально (рис. 7.10).

7.5. Ёмкость и индуктивность в цепи переменного тока

П усть в цепь переменного тока включен конденсатор ёмкостью С (рис.7.11). Напряжение и заряд на обкладках изменяются по закону:

, (7.64)

. (7.65)

Сила тока в цепи равна

, (7.66)

где (7.67)

И з выражений (7.64) - (7.67) следует:

• переменный ток в цепи с ёмкостью опережает напряжение по фазе на (рис 7.12);

• для амплитудных значений тока и напряжения выполняется закон Ома

,

где - ёмкостное сопротивление.

П усть в цепь переменного тока включена только катушка индуктивности L (рис 7.13). В ней при протекании тока возникает э.д.с. cамоиндукции:

. (7.68)

По закону Ома

, (7.69)

или . (7.70)

Преобразуем формулу (7.70), получим:

, (7.71)

, (7.72)

. (7.73)

И з выражений (7.72) и (7.73) следует:

• переменный ток в цепи с индуктивностью отстает по фазе от напряжения на ;

• для амплитудных значений тока и напряжения выполняется закон Ома:

,

где величина - индуктивное сопротивление. Индуктивное и емкостное сопротивления цепи называются реактивными.

Р ассмотрим общий случай, когда цепь переменного тока содержит последовательно соединенные активное сопротивление, ёмкость и индуктивность (рис.7.15). В этом случае

• напряжение на активном сопротивлении совпадает по фазе с током;

• напряжение на емкости отстает по фазе от тока на ;

• напряжение на индуктивности опережает по фазе ток в цепи на .

Изобразим U_R , U_C и U_L на векторной диаграмме. Амплитуда напряжения определится из выражения:

, (7.74)

или

. (7.75)

Здесь - полное сопротивление цепи.

Найдем сдвиг фаз между током и напряжением в цепи переменного тока:

. (7.75)