7. Электромагнитные колебания

7.1. Электрический колебательный контур. Процессы, протекающие в колебательном контуре

Электромагнитными колебаниями называются колебательные процессы, при которых электрические величины (заряды, токи, электрические и магнитные поля) изменяются периодически во времени.

Электромагнитные колебания могут возникать в цепи, содержащей индуктивность (L) и емкость (С). Электрическая цепь, содержащая только индуктивность и емкость является идеализированным колебательным контуром (рис. 7.1, а). Кроме L и С колебательный контур может содержать и другие элементы: активное сопротивление (R) и внешнюю переменную э.д.с. (рис. 7.1, б).

а

Рис.7.1. а) идеализированный колебательный контур; б)реальный колебательный контур

Рассмотрим, каким образом в простейшем колебательном контуре возникают электромагнитные колебания.

П усть конденсатор заряжен, а контур разомкнут (рис.7.2). При этом вся энергия конденсатора сосредоточена в электрическом поле между обкладками конденсатора:

Замкнем ключ. Конденсатор начнет разряжаться, через катушку индуктивности L потечет ток, и в ней возникнет магнитное поле. Энергия электрического поля конденсатора будет превращаться в энергию магнитного поля тока.

Когда конденсатор полностью разрядится, ток в цепи достигнет максимума. (рис.7.3).

При q=0 =0, ,

Д алее, ток, не меняя направления, начнет убывать. Но он прекратится не сразу, его будет поддерживать э.д.с. самоиндукции. Ток будет перезаряжать конденсатор, между его обкладками появится электрическое поле, но противоположного направления. Ток в контуре прекратится, когда заряд на обкладках конденсатора достигнет максимума:

,

Далее будет протекать процесс, аналогичный рассмотренному, но в обратном направлении, и так далее…

В идеализированном контуре (при отсутствии сопротивления) будут совершаться колебания. В ходе процесса периодически изменяются: заряд на обкладках конденсатора, напряжение на нем и ток через индуктивность.

Колебания сопровождаются взаимными превращениями электрических и магнитных полей.

Получим дифференциальное уравнение колебаний в идеализированном колебательном контуре из закона сохранения энергии.

В любой момент времени полная энергия, запасенная в контуре, равна

. (7.1)

Производная от полной энергии по времени равна нулю:

. (7.2)

. (7.3)

. (7.4)

Подставим выражения (7.3) и (7.4) в формулу (7.2), получим:

,

или . (7.5)

Сравним выражение (7.5) с дифференциальным уравнением гармонических колебаний:

. (7.6)

Из сравнения следует, что , а циклическая частота колебаний

. (7.7)

Период колебаний равен

. (7.8)

Выражение (7.8) называется формулой Томсона.

Колебания заряда на конденсаторе будут описываться уравнением:

. (7.9)

Так как , то уравнение колебаний напряжения на обкладках конденсатора имеет вид:

, (7.10)

где .

Уравнение колебаний тока в контуре получим из соотношения:

, (7.11)

где .

Запишем выражения для энергии электрического магнитного поля, как функции времени.