4.2. Магнитное поле в вакууме. Закон Био-Савара - Лапласа.

Французские физики Био и Савар провели большое экспериментальное исследование магнитных полей, создаваемых токами различной формы. Было установлено следующее.

• Во всех случаях магнитная индукция пропорциональна силе тока, протекающего в проводнике: .

• Магнитная индукция сложным образом зависит от конфигурации проводника с током и расстояния от него до точки поля.

Экспериментальные данные Био и Савара были проанализированы математиком Лапласом. Для вычисления магнитной индукции поля, создаваемого элементом тока , им была предложена формула:

. (4.7)

Здесь - радиус-вектор, проведенный из элемента в точку, в которой вычисляется поле; k – коэффициент, зависящий от выбора системы единиц. В системе СИ он равен:

.

С учетом коэффициента k перепишем формулу (4.7) в виде:

. (4.8)

Формулы (4.7) и (4.8) носят название закона Био-Савара – Лапласа.

В соответствии с правилами для векторного произведения модуль вектора равен:

, (4.9)

где - угол между векторами и .

Вектор плоскости, в который лежат вектора и . Его направление определяется правилами для векторного произведения. Но существует простое и удобное для запоминания правило для определения направления вектора (правило буравчика или правого винта).

При поступательном движении винта вдоль направления элемента тока его поступательное движение покажет направление вектора .

Применение принципа суперпозиции полей ( ) и закона Био-Савара-Лапласа позволяет в принципе рассчитать магнитную индукцию поля, создаваемого током любой формы. Расчёт обычно сводится к вычислению интеграла.

4.3. Магнитное поле прямолинейного проводника с током

Рассмотрим следующую задачу. Пусть имеется прямолинейный проводник, по которому течет ток силой i. Необходимо найти магнитную индукцию в произвольной точке A, находящейся на расстоянии x от проводника (рис. 4.3).

Выберем произвольно элемент тока и проведём в точку A радиус вектор (рис.4.3). По закону Био-Савара-Лапласа магнитная индукция создаваемая элементом тока равна (по модулю):

. (4.10)

Направление вектора можно определить по правилу буравчика. Отметим, что векторы от всех элементов тока направлены одинаково (в данном случае за плоскость чертежа). Поэтому, применяя принцип суперпозиции, сложение векторов можно заменить сложением их модулей: или

. (4.11)

Величины dl, r и sinα связаны между собой. Выразим r и dl через x и α. Из треугольников АВС и СDE следует:

. (4.12)

. (4.13)

Подставим (4.12) в (4.13), получим:

. (4.14)

Подставим (4.14) и (4.12) в формулу (4.10):

,

произведём сокращения и получим:

. (4.15)

И нтегрирование выражения (4.15) проведём для случая, когда проводник с током имеет конечные размеры. Тогда угол α будет изменяться от α₁ до α₂ (рис.4.4).

, (4.16)

_. (4.17)

Если проводник с током бесконечно длинный, тогда α₁=0, α₂=π, и магнитная индукция выражается формулой

. (4.18)