Розв’язання

Відповідь:__________________________

2. Перевірити, що дані рівняння є рівняннями в повних диференціалах і розв’язати їх:

1. 

2. 

Довгострокові завдання

Перевірити, що дані рівняння є рівняннями в повних диференціалах і розв’язати їх:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

26. 

27. 

28. 

29. 

30. 

Самостійна робота №1

Перевірити чи є дані рівняння рівняннями у повних диференціалах та розв’язати їх:

Варіант №1.

Варіант №2.

Варіант №3.

Варіант №4.

Варіант №5.

Варіант №6.

Варіант №7.

Варіант №8.

Варіант №9.

Варіант №10.

Варіант №11.

Варіант №12.

Варіант №13.

Варіант №14.

Варіант №15.

Варіант №16.

Варіант №17.

Варіант №18.

Варіант №19.

Варіант №20.

Варіант №21.

Варіант №22.

Варіант №23.

Варіант №24.

Варіант №25.

Варіант №26.

Варіант №27.

Варіант №28.

Варіант №29.

Варіант №30.

Заняття №5

Тема. Інтегруючий множник (2 год.)

Теоретичний блок

Якщо рівняння не є рівнянням у повних диференціалах, то виникає питання , чи можливо підібрати таку функцію , при множенні на яку ліва частина перетворюється у повний диференціал.

Якщо так, то таку функцію називають інтегруючим множником.

Останні вираз для знаходження функції є рівняння з частинними похідними першого порядку.

Знаходження розв’язку даного рівняння в загальному випадку є складною задачею, не простішою ніж розв’язок початкового рівняння. Але існують випадки, при яких можна визначити вигляд інтегруючого множника.

1. Інтегруючий множник залежить від змінної :

Інтегруємо ліву і праву частини:

2. Інтегруючий множник залежить від змінної :

3. Інтегруючий множник залежить від комбінації змінних 𝑥 і :

Зауваження. Інтегруючий множник для любого однорідного рівняння:

Приклад 1. Розв’язати рівняння:

Отже, дане рівняння не є рівнянням у повних диференціалах.

Перевіримо чи існує інтегруючий множник, що залежить від змінної

Перевіримо, чи є останнє рівняння рівнянням у повних диференціалах.

Приклад 2. Розгляне приклад, коли інтегруючий множник залежить від відповідної комбінації змінних:

Знайдемо розв’язок рівняння, враховуючи, що відома залежність змінних в інтегральному множнику:

Помножаємо рівняння на знайдений інтегруючий множник:

Приклад 3. Розв’язати рівняння:

Дане рівняння є однорідним, тому

Практичний блок

1. Дано рівняння, розв’язане з використання інтегруючого множника.. Заповніть пропуски.