Розв’язання

Відповідь:__________________________

2. Знайти загальні розв’язки рівнянь, використовуючи метод Лагранжа або метод Бернулі:

1. 

2. 

Довгострокові завдання

Розв’язати лінійні диференціальні рівняння використовуючи метод Лагранжа або Бернулі:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

26. 

27. 

28. 

29. 

30. 

Заняття №3

Тема. Однорідні диференціальні рівняння та рівняння, що зводяться до них (2 год.)

Теоретичний блок

Однорідною функцією змінних х і у називаєть­ся функція, всі члени якої мають однаковий степінь.

Наприклад,

у —

однорідні функції другого, третього і першого степенів відповідно.

Рівняння виду

де і — однорідні функції одного степеня, називається однорідним.

Однорідне рівняння за допомогою підстанов­ки зводиться до рівняння з відокремлю­ваними змінними.

До однорідних рівнянь зводиться рівняння виду:

Для того, щоб отримати однорідне рівняння застосовують заміну змінних:

Для знаходження маємо систему рівнянь:

Приклад 1. Знайти загальний розв’язок рівняння

Дане рівняння є однорідним рівнянням пер­шого степеня відносно змінних х і у. Припусти­мо, що , де — нова функція від х.

Знайдемо диференціал добутку:

Підставивши вирази і у дане рівняння, дістанемо

Зробивши спрощення, маємо:

Отже, дістали рівняння з відокремлюваними змінними. Відокремивши змінні та проінтегрувавши, знаходимо:

Замінивши в останньому виразі на , дістанемо загальний розв'язок даного рівняння:

Приклад 2. Розв’язати рівняння:

Дане рівняння не є однорідним, тому скористаємось заміною

Отримали однорідне рівняння, яке розв’язуємо за допомогою підстановки:

Практичний блок

1. Дано розв’язок однорідного диференціального рівняння. Заповніть пропуски.

1. 

Розв’язання

Відповідь: ________________________

2. якщо

Розв’язання

Відповідь: ________________________

2. Знайти загальні розв’язки рівнянь

1. 

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Відповідь:________________________

2. 

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Відповідь:________________________

3. 

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Відповідь:________________________

4. 

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Відповідь:________________________

Блок завдань для самостійного опрацювання

1. Дано розв’язок однорідного диференціального рівняння. Заповніть пропуски.