Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Kruk_Diferentsialni_rivnyannya_chastina_I (1).docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.07.2025
Размер:
283.82 Кб
Скачать

Розв’язання

Відповідь: ________________________

  1. Знайти загальні розв’язки рівнянь

Довгострокові завдання

Розв’язати однорідні рівняння:

  1. якщо

  2. якщо

Заняття №4

Тема. Рівняння в повних диференціалах (2 год.)

Теоретичний блок

Рівняння першого порядку, які є розв’язаними відносно похідної завжди можна записати у диференціальній формі:

Помноживши на можна дане рівняння переписати у більш симетричній формі:

.

У деяких випадках рівність (1) є повним диференціалом деякої функції:

Необхідною і достатньою умовою існування повного диференціала є рівність мішаних похідних другого порядку:

Отже, для того, щоб диференціальне рівняння було рівнянням у повних диференціалах необхідно і достатньо, щоб виконувалась умова:

В загальному існує два зручних методів знаходження загального розв’язку диференціального рівняння:

  1. безпосереднє інтегрування;

  2. використовуючи значення частинних похідних функції .

Приклад. Розв’язати рівняння:

Перевіримо умову повного диференціалу:

Отже, маємо рівняння в повних диференціалах.

І спосіб. Інтегруємо праву і ліву частину рівняння:

Даний інтеграл є криволінійним інтегралом ІІ-го роду. Із курсу математичного аналізу відомо, що при умові повного диференціала значенні інтеграла не залежить від шляху інтегрування.

Очевидно, найзручнішим шляхом інтегрування є інтегрування вздовж ділянок ламаної, які паралельні вісі відповідно (рис. 1).

Рис. 1

Так як підінтегральні функції не мають особливих точок, то інтегрування проведемо вздовж ламаної:

ІІ спосіб.

І випадок:

ІІ випадок:

Практичний блок

    1. Дано розв’язок рівняння в повних диференціалах. Заповніть пропуски.

  1. (рівняння розв’язане методом безпосереднього інтегрування).

Розв’язання

Інтегруємо вздовж ламаної (рис. 1):

Відповідь: __________________________

2) (рівняння розв’язане методом безпосереднього інтегрування).

Розв’язання

Інтегруємо вздовж ламаної (рис. 1):

Відповідь:__________________________

3) (рівняння розв’язане з використанням значення частинних похідних функції ).

Розв’язання

Відповідь:__________________________

4) (рівняння розв’язане з використанням значення частинних похідних функції ).

Розв’язання

Відповідь:__________________________

    1. Перевірити, що дані рівняння є рівняннями в повних диференціалах і розв’язати їх:

__________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Відповідь:__________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Відповідь:__________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Відповідь:__________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Відповідь:__________________________

Блок завдань для самостійного опрацювання

  1. Дано розв’язок рівняння в повних диференціалах. Заповніть пропуски.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]