
Розв’язання
Відповідь: ________________________
Знайти загальні розв’язки рівнянь
Довгострокові завдання
Розв’язати однорідні рівняння:
якщо
якщо
Заняття №4
Тема. Рівняння в повних диференціалах (2 год.)
Теоретичний блок
Рівняння
першого порядку, які є розв’язаними
відносно похідної
завжди
можна записати у диференціальній формі:
Помноживши
на
можна
дане рівняння переписати у більш
симетричній формі:
.
У деяких випадках рівність (1) є повним диференціалом деякої функції:
Необхідною і достатньою умовою існування повного диференціала є рівність мішаних похідних другого порядку:
Отже, для того, щоб диференціальне рівняння було рівнянням у повних диференціалах необхідно і достатньо, щоб виконувалась умова:
В загальному існує два зручних методів знаходження загального розв’язку диференціального рівняння:
безпосереднє інтегрування;
використовуючи значення частинних похідних функції .
Приклад. Розв’язати рівняння:
Перевіримо умову повного диференціалу:
Отже, маємо рівняння в повних диференціалах.
І спосіб. Інтегруємо праву і ліву частину рівняння:
Даний інтеграл є криволінійним інтегралом ІІ-го роду. Із курсу математичного аналізу відомо, що при умові повного диференціала значенні інтеграла не залежить від шляху інтегрування.
Очевидно,
найзручнішим шляхом інтегрування є
інтегрування вздовж ділянок ламаної,
які паралельні вісі
відповідно (рис. 1).

Рис. 1
Так як підінтегральні функції не мають особливих точок, то інтегрування проведемо вздовж ламаної:
ІІ спосіб.
І випадок:
ІІ випадок:
Практичний блок
Дано розв’язок рівняння в повних диференціалах. Заповніть пропуски.
(рівняння розв’язане методом безпосереднього інтегрування).
Розв’язання
Інтегруємо
вздовж ламаної
(рис. 1):
Відповідь: __________________________
2)
(рівняння
розв’язане методом безпосереднього
інтегрування).
Розв’язання
Інтегруємо вздовж ламаної (рис. 1):
Відповідь:__________________________
3)
(рівняння
розв’язане з використанням значення
частинних похідних функції
).
Розв’язання
Відповідь:__________________________
4)
(рівняння
розв’язане з використанням значення
частинних похідних функції
).
Розв’язання
Відповідь:__________________________
Перевірити, що дані рівняння є рівняннями в повних диференціалах і розв’язати їх:
__________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Відповідь:__________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Відповідь:__________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Відповідь:__________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Відповідь:__________________________
Блок завдань для самостійного опрацювання
Дано розв’язок рівняння в повних диференціалах. Заповніть пропуски.