77

ЗМІСТ

Заняття №1. Диференціальні рівняння першого порядку з

відокремлюваними змінними…………………………………………………….6

Заняття №2. Метод Лагранжа та Бернулі розв’язування

лінійних диференціальних рівнянь першого порядку………………………...14

Заняття №3. Однорідні диференціальні рівняння та рівняння,

що зводяться до них……………………………………………………………..22

Заняття №4. Рівняння в повних диференціалах……………………………….29

Самостійна робота №1…………………………………………………………..37

Заняття №5. Інтегруючий множник…………………………………………….39

Заняття №6. Рівняння першого порядку n-го степеня………………………...47

Заняття №7. Загальний метод введення параметризації.

Рівняння Лагранжа і Клеро……………………………………………………...55

Контрольна робота №1………………………………………………………….63

Відповіді………………………………………………………………………….67

Література………………………………………………………………………..78

Заняття №1

Тема. Диференціальні рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними (2 год.)

Теоретичний блок

Диференціальним рівнянням називається рів­няння, яке пов'язує між собою незалежну змінну х, шукану функцію у та її похідні або диферен­ціали.

Символічно диференціальні рівняння запи­суються так:

Диференціальне рівняння називається звичай­ним, якщо шукана функція залежить від однієї незалежної змінної.

Порядком диференціальною рівняння називаєть­ся найвищий порядок похідної або диференціала невідомої функції в даному рівнянні.

Розв'язком (або інтегралом) диференціального рівняння називається така функція, яка перетво­рює це рівняння в тотожність.

Загальним розв'язком (або загальним інтег­ралом) диференціального рівняння називається такий розв'язок, до якого входить стільки неза­лежних довільних сталих, який порядок рівняння. Так, загальний розв'язок диферен­ціального рівняння першого порядку має одну довільну сталу.

Частинним розв'язком диференціаль­ного рівняння називається розв'язок, знайдений із загального при різних чис­лових значеннях довільних сталих. Значення довільних сталих знаходять при певних початкових значеннях аргу­менту і функції.

Графік частинного розв'язку дифе­ренціального рівняння називається інтегральною кривою. Загальному розв'язку диференціаль­ного рівняння відповідає сукупність (сім'я) всіх інтегральних кривих.

Диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння, до яко­го входять похідні (або диференціали), не вищі першого порядку.

Диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними називається рівняння виду

Щоб розв'язати це рівняння, треба спочатку відокремити змінні:

а потім проінтегрувати обидві частини знайденої рівності:

Приклад 1. Знайти загальний розв’язок рівняння

Відокремивши змінні маємо:

Інтегруємо обидві частини цього рівняння:

Оскільки довільна стала С може набувати будь-яких числових значень,

тому для зручності наступних перетворень замість С ми написали lnC.

Потенціюючи останню рівність, дістанемо:

Приклад 2. Знайти частинний розв’язок рівняння

якщо y

Відокремлюємо змінні:

Проінтегрувавши обидві частини рівняння, отримаємо:

– загальний розв’язок даного рівняння.

Знайдемо значення С, для цього підставимо та у загальний розв’язок:

Отже, частинний розв’язок, який задовольняє початкові умови.

Практичний блок

1. Дано розв’язок диференціального рівняння з відокремлюваними змінними. Заповніть пропуски.

1. 

Розв’язання

Відповідь: ________________________

2. 

Розв’язання

Відповідь: ________________________

3. 

Розв’язання

Введемо заміну:

arcsin = 2 +C

arcsin = C .

Відповідь: ________________________

4. 

Розв’язання

Відповідь: ________________________

якщо

Розв’язання

Відповідь: ________________________

, якщо

Розв’язання

Відповідь: ________________________

2. Знайти загальні розв’язки рівнянь:

1. ;

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Відповідь:__________________________

2. 

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Відповідь:__________________________

3. 

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Відповідь:__________________________

4. ;

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Відповідь:__________________________

5. 

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Відповідь:__________________________

Блок завдань для самостійного опрацювання

1. Дано розв’язок диференціального рівняння з відокремлюваними змінними. Заповніть пропуски.

Розв’язання

Відповідь:________________________

2. Знайти частинні розв’язки рівнянь:

1. якщо

2. якщо

3. якщо

Довгострокові завдання

Знайти розв’язок рівняння:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. , якщо

23. 

24. 

25. 

26. 

27. 

28. 

29. 

30. 

Заняття №2

Тема. Метод Лагранжа та Бернулі розв’язування лінійних диференціальних рівнянь першого порядку (2 год.)

Теоретичний блок

Диференціальне рівняння називається лінійним, якщо воно є лінійним відносно шуканої функції та похідних відносно шуканої функції.

Лінійне диференціальне рівняння першого порядку має вигляд

(1)

де і – відомі задані функції.

Рівняння (1) є неоднорідним лінійним рівнянням. Якщо , то рівняння (1) називається однорідним лінійним диференціальним рівнянням.

Однорідне лінійне рівняння завжди дозволяє відокремлення змінних.

загальний розв’язок однорідного лінійного рівняння.

Одним із методів, яким можна розв’язати рівняння (1) є метод варіації довільно сталої (метод Лагранжа).

Ідея методу у тому, що загальний розв’язок рівняння (1) шукають у формі загального розв’язку відповідного однорідного лінійного рівняння, де в якості сталої є деяка функція , яку підбирають так, щоб виконувалось рівняння (1).

Для знаходження підставимо шукану форму розв’язку в рівняння (1).

Розкривши дужки, отримаємо:

Загальний розв’язок рівняння (1), як видно з останнього запису складається з двох доданків, перший з яких є загальним розв’язком відповідного однорідного рівняння, а другий доданок є частинним розв’язком.

Розв’язати лінійне диференціальне рівняння першого порядку можна іншим методом (методом Бернулі), якщо шукану функцію зобразити у вигляді добутку двох невідомих функцій:

Маємо однорідне рівняння, розв’язок якого є:

Далі все відбувається аналогічно, як у методі варіації довільної сталої.

Приклад 1. Розв’язати лінійне диференціальне рівняння методом Лагранжа:

Приклад 2. Розв’язати лінійне диференціальне рівняння методом Бернулі:

Це лінійне рівняння, тут Припустимо, що Продиференціюємо цю рівність по :

Підставивши тепер вирази для та у дане рівняння, дістанемо:

(1)

Оскільки одну із допоміжних функцій або можна взяти довільно, то за візьмемо один з частинних розв’язків рівняння

Відокремивши в цьому рівняння змінні та інтегруючи, отримаємо:

Вважаємо, що довільна стала бо знаходимо один з частинних розв’язків.

Підставимо тепер вираз для в рівняння (1) і дістанемо рівняння:

Тоді:

Знаючи і , отримаємо тепер загальний розв’язок даного рівняння:

Практичний блок

1. Дано розв’язки лінійних диференціальних рівнянь (№1, 2 розв’язані методом Лагранжа, №3, 4 – методом Бернулі). Заповніть пропуски.

1. 

Розв’язання

Відповідь: __________________________

2. 

Розв’язання

Відповідь: _________________________

3. 

Розв’язання

ln

Відповідь: __________________________

4. 

Розв’язання

Відповідь: __________________________

2. Знайти загальні розв’язки рівнянь (рівняння №1, 2 розв’язати методом Лагранжа, №3, 4 – методом Бернулі):

1. 

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Відповідь:__________________________

2. 

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Відповідь:__________________________

3. 

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Відповідь:__________________________

4. −

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Відповідь:__________________________

Блок завдань для самостійного опрацювання

1. Дано лінійне диференціальне рівняння, розв’язане методом Лагранжа. Заповніть пропуски.