6. Дослідження систем лінійних алгебраїчних рівнянь на сумісність. Теорема Кронекера-Капеллі.

Розглянемо довільну систему лінійних алгебраїчних рівнянь

(1)

Складемо з коефіцієнтів цієї системи основну і розширену матрицю:

,

Наступна теорема дає повну відповідь на запитання про сумісність системи (1), тобто про існування її розв’язку.

Теорема Кронекера-Капеллі. (Леопольд Кронекер (1823-1891) – німецький математик, Альфред Капеллі (185-1910) – італійський математик). Система лінійних алгебраїчних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг основної матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці системи.

Слар сумісна .

Як тільки з’ясовано, сумісна дана система лінійних алгебраїчних рівнянь чи ні, виникає питання про її визначеність або невизначеність, тобто єдиний розв’язок має система або безліч розв’язків.

Теорема (про число розв’язків системи) 1. Якщо ранг основної матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці системи і дорівнює числу невідомих, то система визначена, тобто має єдиний розв’язок.

Слар визначена (має єдиний розв’язок)

2. Якщо ранг основної матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці системи, але менше числа невідомих, то система невизначена, тобто має розв’язків.

Слар невизначена (має безліч розв’язків)

Як тільки з’ясовано число розв’язків даної сумісної системи лінійних алгебраїчних рівнянь, виникає питання знаходження цих розв’язків.

Замінимо в неоднорідній системі (1) всі вільні члени нулями. Отримана таким чином система лінійних алгебраїчних рівнянь називається однорідною системою асоційованою з даною (або зведеною системою).

Теорема. (про структуру розв’язків неоднорідної СЛАР). Загальний розв’язок неоднорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь дорівнює сумі деякого частинного розв’язку цієї системи і загального розв’язку однорідної системою асоційованої з даною.

ЗР НСЛАР = ЧР+ ЗР ОСЛАР

З теорем випливає наступна

Схема дослідження неоднорідної системи

1. Дослідимо систему на сумісність, для чого визначимо ранг матриці системи. У випадку сумісності:

2 Дослідимо систему на визначеність.

3. Визначимо число вільних і базисних невідомих.

4. Виразимо базисні невідомі через вільні. Для цього застосуємо метод

Гаусса до матриці системи.

5. Знайдемо частинний розв’язок системи.

6. Знайдемо загальний розв’язок однорідної системи, асоційованої з даною.

(за схемою попереднього питання).

7. Знаходимо загальний розв’язок системи.

Приклад. Дослідити на сумісність, у випадку сумісності знайти розв’язки неоднорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

Розв’язання. 1) Дослідимо систему на сумісність, для чого визначимо ранги матриці і розширеної матриці системи:

~ ~ ,

~ ~ .

Оскільки , то система сумісна.

2) Дослідимо систему на визначеність. Оскільки , то система невизначена.

3) Визначимо число вільних і базисних невідомих.

, , – є два вільних невідомих: і .

Невідомі і – базисні.

4) Виразимо базисні невідомі через вільні. Для цього застосуємо метод Гаусса до розширеної матриці системи:

~ ,

звідки

5) Знайдемо частинний розв’язок системи. Надамо вільним невідомим значення, наприклад, , . Тоді , .

Отже, частинний розв’язок є .

6) Знайдемо частинний розв’язок однорідної системи, асоційованої з даною. (за схемою попереднього питання).

1) Дослідимо на сумісність:

~ ~ ,

2) Визначимо число вільних і базисних невідомих.

, , – є два вільних невідомих: і .

Невідомі і – базисні.

3) Виразимо базисні невідомі через вільні:

4) Знаходимо загальний розв’язок однорідної системи.

Нехай , , де . Тоді

, , , ;

, , , .

5) Загальний розв’язок записуємо у вигляді матриці-рядка:

, де .

7) Знаходимо загальний розв’язок системи.

, .