2. Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Крамера

Нехай задано систему лінійних алгебраїчних рівнянь, в якій кількість рівнянь дорівнює кількості невідомих :

(2)

Коефіцієнти системи (2) утворюють основну матрицю, яка називається основною матрицею системи

Визначник цієї матриці називається визначником системи (2) і позначають |А| або D(А) або просто .

Теорема (Крамера) – (Габриель Крамер ( 1704 –1752 ) – Швейцарія )).

Якщо в системі лінійних алгебраїчних рівнянь кількість рівнянь дорівнює кількості невідомих і визначник матриці системи відмінний від 0, то ця система має єдиний розв’язок, який може бути знайдений за формулами:

, , ..., , (3)

де визначники отримані з визначника заміною відповідного стовпця стовпцем вільних членів .

Доведення. проведемо для випадку .

Нехай дано систему

в якій кількість рівнянь дорівнює кількості невідомих і дорівнює 3; визначник матриці системи . Помножимо рівняння системи на відповідні алгебраїчні доповнення елементів першого стовпця матриці А системи:

Будемо мати:

Додамо рівняння системи, після чого отримаємо

За теоремою про розкладання визначника за елементами стовпця і за теоремою анулювання одержимо

де – визначник, отриманий з заміною першого стовпця стовпцем вільних членів. З останньої рівності

Аналогічно одержуємо , . Оскільки , з системи

отримуємо



З теореми Крамера випливає:

1) Якщо визначник матриці системи , то система може або взагалі не мати розв’язків , або мати їх нескінченну множину.

2) Якщо визначник матриці системи і хоча б один з визначників відрізняється від 0, то система несумісна, тобто не має розв’язків.

3) Якщо визначник матриці системи і визначники , то система або несумісна, або невизначена, тобто має нескінченну множину розв’язків.

Метод розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь за теоремою Крамера називається методом Крамера. Формули (3) називаються формулами Крамера .

Приклад. Розв’язати систему методом Крамера.

Розв’язання:

Складемо і обчислимо визначник системи

Оскільки , то система невироджена, тому можна використовувати формули Крамера .

Складемо і обчислимо визначники

; ; /

За формулами Крамера (3)

Відповідь: , , .

3. Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь у матричній формі

Нехай задано систему лінійних алгебраїчних рівнянь, в якій кількість рівнянь дорівнює кількості невідомих .

(2)

Складемо з коефіцієнтів цієї системи основну матрицю :

Разом з матрицею системи розглянемо ще дві матриці

– матриця - стовпець невідомих;

– матриця - стовпець вільних членів

Згідно з правилом множення матриць систему (2) можна записати у вигляді

–

матрична форма запису системи (2). Або скорочено

(4)

Рівняння (4) називається матричним рівнянням з невідомою матрицею .

Теорема (про розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь у матричній формі). Розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь за умови є єдиним і має вигляд

де – матриця, обернена до матриці .

Метод розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь за теоремою про розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь у матричній формі називається методом оберненої матриці.

Приклад. Розв’язати систему методом оберненої матриці. (див. питання 2)

Розв’язання :

Запишемо систему у матричній формі :

Обчислимо визначник системи:

.

Оскільки , то існує . Знайдемо (будь-яким методом).

~ ~

~ ~ = ;

За формулою (4)