Відповідь: , , .

4. Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса

Метод Крамера, дуже цікавий в теоретичному плані, в практичному застосуванні дуже обмежений, бо для систем з великою кількістю рівнянь його застосування приводить до громіздких обчислень. Тому для розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь найчастіше застосовують метод послідовного виключення невідомих, який є універсальним і може бути застосований до довільних сумісних систем. Цей метод був запропонований Карлом Фрідріхом Гауссом (1777-1855) і носить його ім’я. На цей час метод Гаусса залишається одним з найкращих методів розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

Нехай маємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь

(1)

з рівнянь з n невідомими.

Складемо з коефіцієнтів цієї системи основну матрицю :

Доповнимо матрицю стовпцем вільних членів.

Означення. Матриця системи, утворена приєднанням до неї стовпця вільних членів, називається розширеною матрицею системи. Позначається:

(2)

Система лінійних алгебраїчних рівнянь (1) цілком визначається своєю розширеною матрицею (2).

Наступне твердження очевидне.

Здійснюючи елементарні перетворення над системою (1), ми здійснюємо елементарні перетворення відповідного вигляду над розширеною матрицею системи (2). Коли ж ми здійснюємо елементарні перетворення над розширеною матрицею(2), то такі ж самі перетворення будуть здійснюватись над самою системою (1).

Теорема. (про елементарні перетворення розширеної матриці системи лінійних алгебраїчних рівнянь ). Якщо розширена матриця однієї системи лінійних алгебраїчних рівнянь отримана з розширеної матриці іншої системи лінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою скінченного числа елементарних перетворень, то такі системи еквівалентні.

Метод Гаусса полягає в наступному:

Для того щоб розв’язати систему (1), виписуємо розширену матрицю системи (2) і над рядками матриці проводимо елементарні перетворення. Кожен раз після елементарного перетворення отримуємо розширену матрицю нової системи, еквівалентної початковій за теоремою про елементарні перетворення розширеної матриці системи лінійних алгебраїчних рівнянь. При цьому намагаємося привести матрицю до якомога простого вигляду.

Перетворення матриці до еквівалентної матриці трикутно-трапецеїдального виду називається прямим ходом метода Гаусса. Невідомі відповідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь, які відповідають коефіцієнтам, розташованим на головній діагоналі отриманої, називаються базисними, а всі відмінні від базисних – вільними.

Подальше перетворення розширеної матриці до матриці діагонального виду, з якого розв’язок системи (1) видно безпосередньо, називається зворотним ходом метода Гаусса.

Приклад. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса.