2. Визначники

Визначником n-го порядку квадратної числової матриці А порядку п називають число, яке знаходять з елементів матриці А за певним правилом і позначають |А| або (А).

Правило знаходження визначника 2 порядку. Визначник другого порядку дорівнює різниці добутків елементів головної та допоміжної діагоналей, тобто

. (1)

Схему цієї формули можна зобразити таким чином

Знак (+) вказує, що добуток елементів головної діагоналі треба брати зі своїм знаком, знак (–) означає, що добуток еле­ментів неголовної діагоналі треба брати з протилежним знаком.

Приклад 1. Обчислити визначники

a) b) c)

Розв'язання. Будемо обчислювати задані визначники за формулою (1):

a) ;

b) ;

c) .

Правило знаходження визначника 3-го порядку. Визначник третього порядку знаходять за формулою

.

Кожен доданок у правій частині (2) має 3 множники з різних рядків та стовпців. Три перших доданка із знаком (+) є до­бутками елементів головної діагоналі і елементів вершин трикутників з основами паралельними головній діагоналі (дивись схему а) малюнка 1). Три останні доданки у правій частині (2) мають від'ємний знак. Вони є добутками елементів неголовної діагоналі та елементів вершин трикутників із основами пара­лельними неголовній діагоналі (мал. 1, b)

Мал. 1.

Ця схема обчислення визначника третього порядку називається правилом Саріуса. Існують також інші схеми обчислення виз­начника 3-го порядку.

Приклад 2. Обчислити визначник

Розв'язання. Згідно з формулою (2) одержимо

.

Для обчислення визначників порядку n >3 використовують алгебраїчні доповнення.

Означення 1. Мінором Мij елемента а_ij визначника n-го поряд­ку називається визначник (n – 1) порядку, який одержуємо з ви­значника |А| шляхом викреслювання і-го рядка та j-го стовпця, на перетині яких знаходиться елемент а_ij.

Означення 2. Алгебраїчним доповненням А_ij елемента а_ij виз­начника називають мінор цього елемента, взятий зі знаком (–1)^i+j, тобто

. (3)

Приклад 3. Знайти алгебраїчні доповнення до елементів а₂₁,

та а₃₃ визначника .

Розв'язання. Алгебраїчні доповнення до елементів а₂₁ та а₃₃ позначимо А₂₁ та А₃₃, відповідно. Згідно з означенням 2

А₂₁ = (–1)²⁺¹М₂₁ = –М₂₁; А₃₃ = (–1)³⁺³М₃₃ = М₃₃ (4)

Мінори М₂₁ та М₃₃ знайдемо згідно з означенням 1;

;

_.

Підставимо ці значення мінорів у відповідні рівності (4), одержимо шукані алгебраїчні доповнення

Тепер можемо сформулювати правило обчислення визначни­ка n-го порядку.

Правило. Визначник n-го порядку дорівнює сумі добутків усіх еле­ментів будь-якого стовпця (або рядка) на відповідні їм алгеб­раїчні доповнення.

У випадку використання і-гo рядка це правило математично можна записати так

.

Рівність (5) називають розкладом визначника за елементами і-ro рядка. Визначник можна розкласти і за елементами k-го стовпця (k = 1, 2, ..., n).

Отже, обчислення визначника n-го порядку зводиться до об­числення визначників (n – 1) порядку шляхом розкладу визнач­ника за елементами будь-якого рядка або стовпця.

Зауваження. Для скорочення обчислень визначника доцільно його розкласти за елементами такого рядка чи стовпця, який міс­тить найбільшу кількість нулів. У такому випадку не треба знаходити алгебраїчні доповнення до елементів, що дорівнюють 0 (добуток 0 на будь-яке алгебраїчне доповнення дорівнює нулеві).

Таким чином, для ефективного використання методу обчис­лення визначника шляхом його розкладу за елементами будь-якого рядка або стовпця треба навчитись робити еквівалентні перетворення визначника, які дають можливість одержати нулі у деякому рядку або стовпці.

Виконання таких перетворень здійснюється з використанням деяких властивостей визначника.