3.3 Взаємне розташування площин

Дві площини в просторі можуть бути паралельні (в окремому випадку збігатися одна з одною) або перетинаються. Взаємно перпендикулярні площини є окремим випадком площин, що перетинаються.

Площини паралельні, якщо дві прямі, що перетинаються, однієї площини відповідно паралельні двом прямим, що перетинаються, іншої площини (рис. 3.8).

Площини перетинаються по прямій лінії, для побудови якої досить визначити дві її точки, загальні для обох площин, або одну точку і напрям (рис. 3.9).

Рисунок 3.8 – Паралельні площини

Рисунок 3.9 – Площини, що перетинаються по прямій

3.4 Взаємна перпендикулярність двох площин

Дві площини взаємно перпендикулярні, якщо одна з них проходить через перпендикуляр до другої. Тому достатньо, щоб серед елементів, які задають площину , яка перпендикулярна площині , був перпендикуляр до площини (ABC) (рис. 3.10).

Приклад. Через точку М провести площину , яка перпендикулярна до заданої площини .

Р озв’язання. Щоб провести через точку М площину, перпендикулярну до площини , треба спочатку з точки М опустити перпендикуляр на цю площину.

1

Рисунок 3.10 –Перпендикулярність

двох площин

. В заданій площині  проводимо горизонталь і фронталь (h f)  . 2.Проводимо проекції перпендикуляра , опущеного з точки М на площину : ₁  h₁; ₂  f₂. 3. Будуємо площину (  m). Пряму m  m₁, m₂ проводимо довільно, оскільки площин, які проходять через пряму  і перпендикулярних до площини , безліч, а тому довільною прямою m визначена одна з можливих.

3.5 Належність прямої та точки площині

3.5.1 Площина і пряма. Пряма належить площині, якщо вона проходить через дві точки, що належать цій площині, або через одну її точку паралельно іншій прямій, проведеній на площині (рис. 3.11).

Приклад. Зображено горизонтальну проекцію прямої (₁), яка належить площині   . Побувати відсутню фронтальну проекцію прямої (₂) (рис. 3.12).

Р озв’язання. Σ (m//n);  n, ₁ Σ; ₁ (1₁2₁) ₂ (1₂2₂)

А n; В n;

Тобто  (АВ) n

m n; А n;

А; // m

Тобто  n

Рисунок 3.12 – Належність прямої  площині 

Рисунок 3.11 – Пряма належить площині

3.5.2 Площина і точка. Точка належить площині, якщо вона лежить на прямій, що належить цій площині (рис. 3.13). Для визначення відсутньої проекції точки, яка лежить у площині, необхідно спочатку побудувати проекції прямої, яка проходить через цю точку і лежить у площині і на цих проекціях прямої позначити проекції точки.

Аксіома 1. Пряма належить площині, якщо дві її точки належать цій площині.

Аксіома 2. Пряма належить площині, якщо має з площиною одну загальну точку і паралельна якій-небудь прямій, розташованій в цій площині.

Рисунок 3.13 – Точка належить площині

В площині загального положення можна провести безліч прямих, які по відношенню до площин проекцій можуть займати особливе і загальне положення.

П

Рисунок 3.14 – Прямі рівня площини

рямі рівня площини –це головні лінії в площині. Горизонталлю площини називається горизонталь, яка належить цій площині. Побудову горизонталі h площини , заданої  АВС, починаємо з проведення її фронтальної проекції h₂, паралельної осі Х₁₂ (hÎ АВС, h//P1, h₂//Ох,h₃// Оy) (рис. 3.14). У площині можна провести безліч горизонталей, і всі вони будуть паралельні між собою і паралельні нульовій горизонталі (горизонтальному сліду площини h⁰). Фронталлю площини називається фронталь, що належить цій площині. Побудову фронталі f площини (рис. 3.14) починаємо з проведення її горизонтальної проекції f₁, яка паралельна осі Х₁₂ (fÎ АВС, f//P2, f₁// Ох, f₃// Оz). Всі фронталі площини паралельні нульовій фронталі (фронтальному сліду площини f₀).

Профільною прямою площини (р) називається пряма, що належить цій площині і паралельна профільній площині проекцій. Її проекції на П₁ і П₂ завжди перпендикулярні осі Х₁₂ (рÎ АВС, р//P3, р₁^ Ох, р₂^ Ох) (рис. 3.14).

Прямі, що належать площині і створюють з площиною проекцій найбільший кут, називаються лініями найбільшого нахилу даної площини до площини проекцій. Лінія найбільшого нахилу до горизонтальної площини проекцій називається лінією скату (рис. 3.15).

Пряма паралельна площині, якщо вона паралельна одній з прямих, що лежать в цій площині і не належить цій площині. Вона перпендикулярна до горизонтального сліду даної площини або до її горизонталі. Кут нахилу лінії найбільшого скату до П₁ є кутом нахилу даної площини до П₁. Лінія найбільшого нахилу відносно П₂ перпендикулярна до фронтального сліду площини або до її фронталі. Кут між лінією найбільшого нахилу і П₂ є кутом нахилу даної площини до П₂.

Приклад. Визначити кут нахилу даної площини до П₁ (рис. 3.15).

Розв’язування. 1. В заданій площині γ (ΔАВС) будують проекції горизонталі h₁ і h₂. 2. До горизонтальної проекції горизонталі h₁ проводять перпендикуляр з точки, яка належить заданій площині. Його зручніше проводити з проекції точки В₁. Лінія ВК – лінія найбільшого нахилу до П₁. 3. Для визначення кута нахилу α до П₁ використовують спосіб прямокутного трикутника.

Рисунок 3.15 – Лінії найбільшого нахилу