3. Метод проекцій

Для побудови зображення предметів на площині користуються методом проекціювання (проектування). Слово “проекція” - латинське, що в перекладі означає “кинути вперед”.

Одним із методів проекціювання є - центральне проектування (рис. 1.1).

Т

Рисунок 1.1 – Центральне проектування

очка S, з якої виходять проектуючі промені, називається центром проекцій. Площина П₁, на яку проектуються точки, називається площиною проекцій. Якщо провести через точку А і центр проекцій S пряму лінію, то вона перетне площину П₁ в точці А₁. Одержану точку А₁ називають центральною проекцією точки А на площину П₁. Аналогічно виконуємо вправу з точкою В і С. Лінію SAA₁ (SBB₁) (SСС₁) називають проектуючим променем.

Основні властивості центральних проекцій

1. Проекцією точки є точка.

2. Проекцією відрізка є відрізок – в загальному випадку, в частковому – точка.

Ч

Рисунок 1.2 – Паралельне

проектування

астковий випадок центрального проектування – паралельне проектування, коли центр проектування віддалений в нескінченність, при цьому проектуючі промені можливо розглядати, як паралельно проектуючі прямі (рис. 1.2). Паралельне проектування дозволяє побудувати зображення, яке зберігає ті властивості оригіналу, від яких залежать розміри і форма.

В свою чергу паралельні проекції поділяються на прямокутні, коли проектуючі промені перпендикулярні до площини проекції, косокутні, коли напрям проектування утворює з площиною проекцій кут не рівний 90º. Прямокутне (ортогональне) проектування є частковим випадком паралельного. Проекція об’єкта, отримана з використанням цього методу, називається ортогональною.

Основні властивості ортогонального проектування продовжують властивості центрального

1. Проекції паралельних прямих паралельні.

2. Проекцією проектуючого відрізка є точка.

3. Якщо точка D розділяє відрізок АВ в деякому співвідношенні, то її проекція ділить проекцію відрізка в такому ж співвідношенні.

4. Проекція площини в загальному випадку є площиною, а в особливому – прямою.

Для розв'язання зворотної задачі - визначення положення точки за її паралельними проекціями - необхідно мати дві паралельні проекції, одержані при двох напрямках проектування. Виходячи з того, що через точку можна провести тільки одну пряму, перпендикулярну до площини (тобто задати тільки один напрямок проектування S по відношенню до П₀), очевидно, що при ортогональному проектуванні для одержання двох проекцій одної точки необхідно мати дві не паралельні площини проекцій.

2. Відображення точки і прямої на комплексному кресленні

2.1 Ортогональне проектування. Комплексне креслення точки

Вперше здійснювати проектування предметів на дві взаємно перпендикулярні площини запропонував Гаспар Монж. Г. Монж великий французський геометр кінця XVIII, початок XIX століття, 1789-1794 рр. один з засновників знаменитої політехнічної школи в Парижі і участник робіт по веденню метричної системи мір і вагів.

Викладений Г.Монжем метод - метод ортогонального проектування, причому беруться дві проекції на дві взаємно перпендикулярні площини проекцій - забезпечуючи виразність, точність зображень предметів на площині, був і залишається основним методом складання технічних креслень.

Відповідно до методу, запропонованого Г. Монжем, розглянемо в просторі дві взаємно перпендикулярні площини проекції (ріс. 2.1 а).

а б

Рисунок 2.1 – Епюр Монжа

П₁ - горизонтальна площина проекцій; П₂ - фронтальна площина проекцій; Х₁₂ - вісь проекцій - лінія перетину площин П₁ і П₂; А₁-горизонтальна проекція точки А; А₂ - фронтальна проекція точки А. Лінія А₁А₂ (лінія, яка з’єднує горизонтальну і фронтальну проекції точки А) називається вертикальною лінією зв’язку.

Одну з площин проекцій П1 розташовують горизонтально, а другу П2 - вертикально. П1 - горизонтальна площина проекцій, П2 - фронтальна. Площина безкінечна і непрозора. Оскільки П₁П₂, а проектуючі промені SП₁ і МП₂, то лінія, яка з’єднує проекції точки А  А₁А₂, перпендикулярна осі проекцій Х₁₂. А₂А₁₂Х₁₂; А₁А₁₂Х₁₂. Якщо обернути площину проекцій П₁ навколо осі Х₁₂ на кут 90⁰ до суміщення її з площиною проекцій П₂ (рис. 2.1 б), отримаємо плоске креслення, в якому проекції точки А₁ і А₂ розташовані на одному перпендикулярі до осі Х₁₂.

Цей перпендикуляр називається вертикальною лінією зв’язку. Одержане креслення отримало назву Епюр Монжа чи комплексне креслення. При цьому відрізок А₂А₁₂ визначає відстань від точки А до площини П₁, а відрізок А₁А₁₂ визначає відстань від точки А до площини П₂.

Для розв'язання окремих задач необхідно вводити в систему двох взаємно перпендикулярних площин проекцій інші площини проекцій. Розглянемо введення в систему площин П₁ і П₂ третьої площини П₃, яка перпендикулярна до заданих площин П₁ і П₂. Ця площина називається профільною площиною проекцій. Крім осі Х₁₂ з’являються дві нові осі: Y₁₃=П₁П₃; Z₂₃=П₂П₃. Буквою О₁₂₃ позначаємо точку перетину всіх трьох осей проекцій.

У просторі є безліч точок, що займають різне положення відносно площин проекцій П₁, П₂ і П₃. Положення кожної точки визначається трьома координатами x,y,z - висотою, глибиною і широтою, які показують величини відстаней, на які точка віддалена від площин проекцій. При побудові проекції необхідно пам'ятати, що ортогональною проекцією точки на площину є перпендикуляр, опущений з даної точки на цю площину.

Точка може займати в просторі як загальне, так і особливе положення по відношенню до площини проекцій. Точка не належить жодній з площин проекцій - точка загального положення. Координати точки загального положення не дорівнюють нулю (x≠0,y≠0,z≠0), і залежно від знака координати точка може розташовуватися в одному з восьми октантів, як показано на (рис. 2.3).

Точки, проекції яких хоча б на одну із площин проекцій збігаються (точки, які лежать на одному проектуючому промені) називаються конкуруючими. З двох конкуруючих точок в горизонтальній проекції видима та, висота якої більша; з двох конкуруючих точок у фронтальній проекції видима та, глибина якої більша; з двох конкуруючих точок у профільній проекції видима та, широта якої більша.