1. Означення і властивості векторного добутку

Векторним добутком векторів і називається вектор , що задовольняє таким умовам:

1. довжина вектора дорівнює добутку довжин векторів і на синус кута між ними, тобто ;

2. вектор перпендикулярний кожному з векторів

і ,тобто ;

3. якщо , то вектори утворюють праву трійку векторів.

В екторний добуток можна позначити так:

Алгебраїчні властивості векторного добутку:

1. (антикомутативність)

2. (дистрибутивність)

3. (асоціативність)

4. 

Геометричні властивості векторного добутку:

1. Необхідною і достатньою умовою колінеарності двох ненульових векторів є рівність нулю їхнього векторного добутку:

2. Модуль векторного добутку векторів і дорівнює площі паралелограма, побудованого на цих векторах:

Наслідок. Площа трикутника, побудованого на векторах і :

3. Векторні добутки ортів задовольняють такі рівності:

Приклад.

Обчислити , якщо

Розв'язання. ;

Відповідь.

2. Обчислення векторного добутку

В ортонормованому базисі векторний добуток векторів

обчислюється за формулою:

Приклад. Знайти площу трикутника з вершинами в точках та довжину висоти , опущеної з вершини на сторону .

Розв’язання.

Оскільки , то

З іншого боку, , звідки

Відповідь.

Завдання для самоконтролю.

1. Дайте означення векторного добутку двох векторів.

2. Сформулюйте властивості векторного добутку векторів.

3. Як обчислити векторний добуток векторів, заданих координатами?

4. Доведіть, що

5. Доведіть тотожність

6. Знайдіть площу паралелограма, побудованого на векторах , якщо

7. Знайдіть площу трикутника, заданого вершинами

ЗМ 12 Мішаний добуток векторів

1. Означення і обчислення мішаного добутку

Два вектори можна помножити двома способами: скалярно (результатом є число ) та векторно (результатом є вектор ).

Множення трьох векторів можна виконати різними способами і утворити такі добутки:

1. .

Такий добуток відповідає дії множення скаляра на вектор і не розглядається.

2. .

Результатом цього добутку є вектор, який називається подвійним векторним або векторно-векторним добутком даних векторів. Для знаходження подвійного векторного добутку використовують наступні формули:

Подвійний векторний добуток часто зустрічається у векторному численні, але певного геометричного змісту не має.

3. .

Скалярний добуток вектора на вектор називають мішаним добутком векторів . Цей добуток має чіткий геометричний зміст і широко використовується в задачах.

Якщо вектори задані координатами , то їх мішаний добуток можна знайти за формулою:

2. Властивості мішаного добутку

Алгебраїчні властивості мішаного добутку:

1. Якщо в мішаному добутку поміняти місцями два множники, то добуток змінить знак:

2. При циклічній перестановці множників мішаний добуток не зміниться:

3. У мішаному добутку знаки векторного і скалярного добутків можна міняти місцями:

У зв’язку з цим мішані добутки (векторно-скалярний добуток) і (скалярно-векторний добуток) скорочено позначають так: .

Геометричні властивості мішаного добутку:

1. Модуль мішаного добутку некомпланарних векторів дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах, віднесених до спільного початку:

Наслідки.

Об'єм чотирикутної піраміди:	Об’єм трикутної піраміди:

2. Якщо мішаний добуток додатний, то вектори утворюють праву трійку, якщо від'ємний, то ліву.

3. Необхідною і достатньою умовою компланарності трьох векторів є рівність нулю їх мішаного добутку:

Ці властивості виражають геометричний зміст мішаного добутку.

Приклади.

1. Знайти об’єм тетраедра, заданого вершинами .

Розв’язання.

Відповідь.

2. Довести, що точки лежать в одній площині.

Розв’язання. Точки лежать в одній площині, якщо вектори компланарні.

Оскільки мішаний добуток , то вектори компланарні, а отже задані точки належать одній площині.

Відповідь. Так, задані точки лежать в одній площині.

3. З'ясувати, яку трійку (праву чи ліву) утворюють вектори і знайти об’єм трикутної піраміди, побудованої на цих векторах.

Розв’язання.

Відповідь.