Завдання для самоконтролю.

1. Що називається декартовою системою координат?

2. Дайте визначення декартових координат точки: на прямій, на площині, на просторі.

3. Визначіть прямокутну систему координат. Яка система координат називається правою (лівою)?

4. Доведіть, що координати точки у прямокутній системі дорівнюють відповідним проекціям радіуса-вектора цієї точки на осі координат.

5. Охарактеризуйте полярну систему координат. Який існує зв'язок між полярними та прямокутними координатами?

6. Охарактеризуйте циліндричну та сферичну системи координат.

7. Дайте поняття n-вимірного вектора та n-вимірного простору.

ЗМ 10 Скалярний добуток векторів. Кут між векторами

1. Вектори в прямокутній декартовій системі координат

Для того, щоб операції над векторами звести до операцій над числами, варто розглянути вектори в системі координат. Користуватимемось здебільшого прямокутною декартовою системою координат.

В ортонормованому базисі , який задає прямокутну систему координат , вектор визначається як лінійна комбінація базисних векторів, тобто , де – координати вектора.

З властивостей проекцій випливає, що

Отже, координати вектора в системі – це його проекції на осі координат.

Якщо початок вектора міститься в точці , а його кінець в точці , то координати вектора дорівнюватимуть:

або

Оскільки вектор є діагоналлю прямокутного паралелепіпеда з відповідними вимірами . Тому довжина вектора дорівнює

або

Цією формулою користуються для знаходження відстані між точками і .

Орт-вектор .

Напрям довільного вектора визначається кутами, які утворює цей вектор з осями координат: , причому .

Косинуси цих кутів називаються напрямними косинусами вектора :

Виконавши певні дії (підносячи обидві частини кожної з рівностей до квадратів, підсумовуючи з урахуванням формули довжини вектора) дістанемо:

Тобто, сума квадратів напрямних косинусів вектора дорівнює одиниці.

Приклад.

1. Задано точки і . Знайти координати, довжину та напрямні косинуси вектора .

Розв'язання.

Відповідь.

2. Чи може вектор утворювати з осями координат кути і ?

Розв’язання.

Згідно з твердженням про напрямні косинуси маємо негативну відповідь на поставлене питання.

Відповідь. Ні, не може

Якщо відомі координати векторів, то лінійним діям над векторами відповідають арифметичні дії над їхніми координатами.

Нехай задані вектори і

Рівність векторів. Вектори рівні, якщо їх відповідні координати однакові.

Колінеарність векторів. Вектори колінеарні, якщо їх відповідні координати пропорційні.

Приклад.

Знайти вектор , колінеарний вектору

Розв'язання. З умов колінеарності маємо: .

Відповідь.

Сума (різниця) векторів. Щоб виконати додавання (віднімання) векторів треба додати (відняти) їх відповідні координати.

Множення вектора на число. Щоб помножити вектор на число треба усі його координати помножити на це число.

Поділ відрізка у заданому відношенні. Координати точки , яка ділить відрізок ( ) у заданому відношенні знаходять за формулами:

Зокрема, координати середини відрізка знаходять за формулами:

Приклад. Знайти координати точки перетину медіан трикутника з вершинами в точках .

Розв’язання. Знайдемо координати точки – середини відрізка :

Отже, .

Медіани трикутника точкою перетину поділяються у відношенні . Знаходимо координати потрібної точки:

Відповідь.

Центр мас системи матеріальних точок. Координати точки , що є центром мас двох матеріальних точок і , в яких зосереджено маси відповідно та обчислюється за формулами:

Узагальнюючи попередні формули отримаємо формули для знаходження центра мас системи n матеріальних точок: