6.4. Ризик виживання
Формули
попереднього розділу справедливі також
при
,
тобто коли чиста ризикова величина
від'ємна. Але в цьому випадку аналіз
змінюється. Ми починаємо з (3.4)
.
(4.1)
Величина
є необхідною в будь-якому випадку; у
випадку виживання, додаткова величина
перестає бути необхідною. Фінансові
потоки протягом року
,
таким чином, частково відповідають
чистому збереженню і частково контракту
на чисте дожиття на суму
.
Премія
може розглядатися, як сума модифікованої
премії збережень
,
(4.2)
і премії ризику виживання
.
(4.3)
Зауважимо, що компонента збережень також може бути від'ємною. Рівняння (4.1) можна також записати у формі
,
(4.4)
яка подібна до співвідношення (3.9).
6.5. Резерв чистої премії за безтерміновим контрактом страхування життя
Розглянемо
безтерміновий контракт страхування
життя, який введено в розділі (3.1) теми
5. Його резерв чистої премії наприкінці
року
позначається через
і за означенням дорівнює
.
(5.1)
Отримаємо декілька еквівалентних формул.
Замінивши
на
,
отримаємо
.
(5.2)
Тепер,
замінивши
на
,
отримаємо
.
(5.3)
Формула
(5.4)
отримується,
якщо ми замінимо
на
і
на
.
Тотожність
разом з (5.1) дає
(5.5)
і
.
(5.6)
Нарешті,
заміна
на
дає
.
(5.7)
Формула
(5.2) виражає той факт, що резерв чистої
премії дорівнює застрахованій сумі за
мінусом очікуваного поточного значення
майбутніх премій і невикористаного
відсотка. Це нагадує співвідношення
,
яке має аналогічну інтерпретацію.
Рівняння
(5.5) може бути обґрунтоване з врахуванням
того, що майбутні виплати премії
можуть бути затрачені на безтерміновий
контракт страхування життя з сумою
;
тоді резерв чистої премії може бути
використаний на залишкову суму
.
Якщо в момент
необхідно купити безтерміновий контракт
страхування життя, то чиста річна премія
дорівнює
.
Формула різниці премій
(5.6) показує, що резерв чистої премії є
очікуваним поточним значенням різниці
премій.
6.6. Резерви чистої премії в проміжні моменти
Повернемося
до загального виду страхування, яке
обговорювалося в розділі 3. Припустимо,
що застрахований живий в момент
(
- ціле,
),
і позначимо резерв чистої премії через
.
Аналогічно (3.5), резерв чистої премії
може бути записаний у вигляді
.
(6.1)
Ситуація А розділу 6 теми 2 означає
,
(6.2)
звідки можна отримати значення .
Можна також виразити в термінах . Для цього підставимо (6.2) в (6.1) і використаємо (3.7) та (3.6). Отримаємо
.
(6.3)
В розділі 3 ми бачили, що операції в році можуть бути розділені; рівняння (6.3) дає відповідне розділення в проміжні моменти: Перший доданок визначає стан рахунку заощаджень в момент , другий – це частина ризикової премії, яка знову „не отримана” в момент .
Третя можлива формула
.
(6.4)
Вона
показує, що
є середнє зважене накопиченого значення
і дисконтованого значення
;
ваги обираються аналогічні вагам в
(8.5) теми 4, при
.
Для доведення (6.4) можна замінити
на
.
На практиці часто використовується апроксимація, що базується на лінійній інтерполяції
,
(6.5)
що можна порівняти з (6.3).