2. Приклади характерних задач з розв’язанням

Задача 1. Обчислити інтеграли:

а) , ( );

б) , ( ; );

в) .

Розв’язання. а) Переходячи до інтегрування по площині XOY, запишемо

. (1)

У полярних координатах r, (враховуючи, що , ) маємо: ; при цьому елемент площі

,

де  якобіан переходу від змiнних r, до декартових координат x, y. Отже, (1) можна записати у вигляді

. (2)

Обираючи у подвiйному iнтегралi (2) межі iнтегрування так, щоб охопити всю площину XOY, одержимо

.

Отже, остаточно маємо: .

б) У випадку непарних n, зрозуміло, , тому знайдемо для будь-яких натуральних n iнтеграл

. (3)

Замiна зводить (3) до так званої гамма-функцiї :

, (4)

з основною властивiстю (довести самостійно)

. (5)

Зокрема, при та з рівності (4) випливає: ,

.

Використовуючи останні співвідношення, можна визначити для значень . Крім того, враховуючи зв`язок з , знаходимо

. (6)

Так, з (6) одержуємо:

, , ,

, , . (7)

в) Розглянемо інтеграл

.

Запишемо його у вигляді

(8)

Для величина являє суму нескінченно спадної прогресії: , , , …. Отже,

. (9)

Послідовність функцій рівномірно збігається до 0 на проміжку , тому інтегрування в (9) можна провести під знаком суми:

.

Для визначення цієї суми порівняємо розвинення в ряд Маклорена із зображенням (за Ейлером) цієї функції як поліному нескінченного степеня з відомими коренями ( ):

.

Порівнюючи коефіцієнти при х³, одержимо

звідки

тобто шуканий інтеграл I дорівнює . Аналогічними діями можна довести, що

.

Задача 2. Ймовірність того, що система знаходиться в стані зі значенням дискретного параметра , дорівнює , де  стала додатна величина, . Пронормувати ймовірність і обчислити середнє значення квадрата і відносну флуктуацію величини (  стала величина).

Розв’язання. З умови нормування

знаходимо: та

. (1)

За ознакою середнього маємо:

. (2)

Суму в (2) можна зобразити у вигляді

,

що дозволяє обчислити (2) і отримати середнє значення :

. (3)

Аналогічно знаходимо середнє значення величини :

. (4)

Відносну флуктуацію розраховуємо за формулою

,

що з урахуванням (3) та (4) остаточно дає

.

Задача 3. Математичний маятник здійснює гармонічні коливання за законом . Знайти ймовірність того, що при випадковому вимірюванні кута відхилення маятника це значення буде лежати в інтервалі .

Розв’язання. Ймовірність того, що при випадковому вимірюванні кута маятника його значення належатиме проміжку , буде пропорційна часу , протягом якого маятник перебуває (“живе”) в цьому проміжку:

. (1)

Із закону коливань маятника знаходимо

,

звідки

.

Отже, шукану ймовірність (1) можна записати у вигляді

,

де сталу А знаходимо з умови нормування для щільності розподілу :

,

звідки і остаточно

.

Задача 4. Ідеальний газ, що складається з молекул, знаходиться в судині з об’ємом . Визначити ймовірність того, що в заданому об’ємі ( ) у даний момент буде знаходитись рівно молекул. Розглянути граничні випадки:

а) ;

б) ; ; ( ).

Розв’язання. Випадкове попадання n молекул в об’єм V₀ моделюється схемою Бернуллі, де ймовірність попадання однієї молекули в цей об`єм дорівнює . Тому, якщо вся кількість молекул дорівнює , шукану ймовірність можна записати у вигляді

, (1)

де .

Розглянемо тепер граничні випадки:

а) . Позначимо . Тоді

. (2)

Оскільки та , величина набуває деякого скінченного сталого значення. Тому після скорочень у (2) одержимо

.

Перша границя дорівнює , а друга 1. Отже, остаточно у випадку маємо

. (3)

Розподіл (3) називають розподілом Пуассона. Стала λ має зміст середнього значення кількості молекул , які попадають в об’єм .

б) ; . В цьому випадку користуємося формулою Стірлінга:

. (4)

З урахуванням (4) попередній результат (3) після логарифмування матиме вигляд

. (5)

Оскільки , (5) можна переписати:

. (6)

Беручи до уваги розкладання та враховуючи другий порядок мализни за аргументом , отримаємо

, (7)

звідки

. (8)

Константу знаходимо з умови нормування:

,

що дає: . Отже, цей випадок призводить до розподілу Гаусса (8).

Задача 5. Знайти математичне сподівання (середнє значення) і дисперсію випадкової дискретної величини , що підлягає закону розподілу Пуассона , де , і з’ясувати зміст сталої .

Розв’язання. Математичне сподівання (середнє) дискретної випадкової величини знаходимо за формулою

.

У нашому випадку

,

що дає

. (1)

Беручи до уваги, що сума в (1) є розвинення до ряду Маклорена функції , остаточно знайдемо:

(2)

тобто зміст сталої а – середнє значення випадкової величини за розподілом Пуассона.

Дисперсію випадкової величини обчислюємо за формулою

.

Отже,

Враховуючи, що обидві суми є розвиненням , одержимо і остаточно .

Задача 6. Визначити і накреслити фазову траєкторію тіла маси m, що рухається в постійному гравітаційному полі з точки з початковою швидкістю , яка спрямована вертикально вгору.

Розв’язання. Із закону збереження механічної енергії для тіла, яке вільно падає у постійному гравітаційному полі , матимемо:

, (1)

де , – узагальнені координата та імпульс в довільний момент часу. Отже, шукана фазова траєкторія тіла згідно з (1) є парабола у змінних , :

mv₀

0

Задача 7. Визначити і накреслити фазову траєкторію частинки маси з електричним зарядом , що рухається під дією кулонівської сили притягання до нерухомого заряду . Початкова відстань між зарядами , початковий імпульс .

Розв’язання. Потенціальна енергія точкового заряду в кулонівському полі такого ж заряду дорівнює , де – стала. Тому із закону збереження повної енергії маємо

.

Оскільки , остаточно малюємо фазову траєкторію за формулою

р

додатний напрямок “←”

:

r

0р

додатний напрямок “→”

Якщо додатний напрямок швидкості обраний за рухом заряду, фазова траєкторія відповідатиме верхній кривій і навпаки.

Задача 8. Визначити фазову траєкторію лінійного незгасаючого гармонічного осцилятора з енергією , масою , і частотою . Обчислити фазовий об’єм , обмежений гіперповерхнею енергії. Знайти зміну фазового об’єму з часом у випадку згасання з коефіцієнтом згасання .

Розв’язання. Для лінійного незгасаючого гармонічного осцилятора з енергією та кутовою чистотою за законом збереження енергії можна записати:

(1)

або

, (2)

що є канонічним рівнянням еліпса з напіввісями , Отже, фазова траєкторія матиме вигляд

p

a

b

q

Фазовим об’ємом , обмеженим гіперповерхнею (2), буде площа цього еліпса, тобто

. (3)

Враховуючи закон руху згасаючого осцилятора

,

знайдемо за формулою (1) залежність його повної енергії від часу:

.

Отже, з (3) отримуємо шукану залежність фазового об’єму від часу:

.

Задача 9. Показати графічно й аналітично виконання теореми Ліувілля для ансамблю частинок, що рухаються по інерції в деякому напрямку.

Розв’язання. Нехай у деякий момент часу (умовно ) елементарний фазовий об’єм ансамблю таких частинок дорівнює . За час усі фазові точки цього об’єму перемістяться вздовж вісі , при цьому це переміщення буде пропорційне їх імпульсу . Отже, еволюція → матиме вигляд:

p

dp₀=dp_t

dq₀ dq_t

q₀ q_t q

Аналітичне доведення теореми Ліувілля для цього випадку полягає у встановленні рівності

.

Отже, маємо

.

Звідки

,

що й треба було довести.

Задача 10. Перевірити виконання теореми Ліувілля для випадків: а) пружного центрального зіткнення двох кульок, б) абсолютно непружного їх зіткнення.

Розв’язання. а) Нехай координати та імпульси кульок до зіткнення дорівнюють , , , , а після зіткнення - , , , . Із законів збереження імпульсу:

,

та енергії:

знаходимо

(1)

Крім того, покладаючи, що зіткнення сталося в початковий момент часу , для координат маємо

, . (2)

Отже, з (1) та (2) одержуємо

що свідчить про виконання теореми Ліувілля для вказаного випадку, оскільки .

б) У випадку абсолютно непружного зіткнення кульок маємо

,

тому якобіан перетворення як визначник, містить дві пари однакових строк, тобто . Отже, фазовий об’єм для ансамблю таких систем з часом не зберігається і теорема Ліувілля не виконується.

Задача 11. Перевірити справедливість теореми Ліувілля для ансамблю частинок, що падають у в’язкій рідині.

Розв’язання. Рівняння руху частинки, яка падає у в’язкій рідині є

або

, (1)

де  сила в’язкого тертя, .

З початковими умовами , розв’язок диференціального рівняння (1) матиме вигляд

та

Запишемо і обчислимо якобіан D перетворення → :

тобто для ансамблю таких частинок фазовий об’єм з часом не зберігається і теорема Ліувілля не виконується.