4.2 Графотеоретические модели описания схем

Рассмотрим несколько способов описания схем графами для математической постановки задач конструирования.

4.2.1 Граф коммутационной схемы (ГКС). В отличие от обычного линейного графа, в ГКС три типа вершин и два типа ребер. Обозначение такого графа G=(X, C, V, F, W)

Вершины графа ГКС:

X – элементы схемы;

C – выводы элементов, включая внешние выводы схемы;

V – цепи (комплексы) схемы.

Р ебра ГКС: F – элементные ребра ( );

W – сигнальные ребра ( ).

Элементные ребра принадлежат выводам из множества С и элементам из множества Х и задается парами вершин (х_i, c_k).

Сигнальные ребра определяют вхождение выводов из С в отдельные цепи и задается парами вершин (c_k,v_j).

c₁₁

v₃

c₂₁

c₂₃

v₁

х₁

x₂

c₁₂

c₂₂

v₄

v₂

v₅

c₃₂

c₃₁

x₄

c₄₁

c₄₂

c₀₁

c₃₃

c₀₃

c₀₄

x₃

x₀

c₀₂

v₆

Граф коммутационной схемы (ГКС).

Для задания структуры схемы способ изображения графа (положение вершин и форма ребер не важен).

Иногда (при решении задач конструирования) дополняют схемы информацией об источниках и приемниках сигналов (придается ориентация сигнальным ребрам). Граф схемы становится ориентированным.

В других ситуациях (при трассировке соединений на плоскости) необходимо учитывать порядок расположения конструктивных выводов на элементах. В этих случаях и ГКС устанавливается порядок следования элементных ребер.

Учитывая, что ГКС содержит вершины и ребра разных типов, его структуру можно описать с помощью матриц А и В.

Матрица А представляет цепи схемы и определяется как А=||а_ij||_mxК, где m – число цепей, K – число выводов в схеме.

Элемент а_ij =1, если вывод с_i принадлежит цепи v_j; и а_ij =0 в противном случае.

	c01 c02 c03 c04 c11 c12 c13 c21 c22 c23 c31 c32 c33 c41 c42
v1	1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
v2	0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0
A = v3	0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0
v4	0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0
v5	0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
v6	0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

Каждый столбец матрицы содержит одну единицу, т.к. любой вывод может входить в одну цепь. Число единиц в любой строке равно размеру цепи.

Матрица В =||b_ij||_nxK (n – число элементов) выделяет подмножества выводов, принадлежащие отдельным элементам. Строки матрицы соответствуют элементам, а столбцы – выводам. Элемент матрицы b_ij =1, если вывод с_j принадлежит элементу x_i, и b_ij =0 в противном случае.

	c01 c02 c03 c04 c11 c12 c13 c21 c22 c23 c31 c32 c33 c41 c42
x0	1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
x1	0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
В = x2	0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0
x3	0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0
x4	0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1

Каждый столбец матрицы содержит одну единицу, т.к. любой вывод может относиться только к одному элементу. Число единиц в любой строке равно числу выводов на соответствующем элементе.

Информация о схеме в виде матриц А и В занимает большой объем памяти. Широко используется списковое задание схемы (*.ALT-файл). Он представляет собой последовательности перечислений комплексов (список цепей и принадлежащие им элементы и выводы). Достоинства этого способа – наглядность и малые затраты памяти. Сложность – в обработке информации, в воде в программное обеспечение специальных процедур обработки списков.

Структуру ГКС можно задать с помощью матрицы Т (матрицы цепей).

T=||t_ij||_nxk,. строки которой соответствуют элементам схемы, а столбцы – выводам элемента. Элемент матрицы t_ij – номер цепи, связанной с выводом с_j элемента x_i.

	c1 c2 c3 c4
x0	v1 v2 v5 v6
x1	v1 v2 v3 -
Т = x2	v3 v4 v5 -
x3	v3 v2 v4 -
x4	v4 v6 - -

Комплексы схемы (совокупность выводов в цепи) определяются равными элементами матрицы Т. Данный способ описания сохраняет упорядоченность матричной формы, что удобно с вычислительной точки зрения, но требует предварительной нумерации цепей.

Модель в виде ГКС используется при задании полной и точной информации о схеме в процессе конструирования решение задач трассировки соединений. В отдельных случаях удобнее пользоваться упрощенными моделями схем. Например, при компоновке узлов.

4.2.2 Граф элементных комплексов (ГЭК). В ГКС выводы элементов (контакты) стягиваем внутрь вершины, т.е. отождествляем выводы с_i с самими элементами x_i. При этом устраняются элементные ребра F, комплексы v_j переходят в элементные комплексы v′_j. Данная модель схемы G^=(X,V^,W) называется графом элементных комплексов.

х₁

v'₃

x₂

v'₅

x₃

v'₄

v'₁

x₄

v'₂

x₀

v'₆

Граф элементных комплексов (ГЭК).

Для описания ГЭК используют матрицу Q (матрицу комплексов) - Q=||q_ij||_nxm,. строки которой соответствуют элементам схемы, а столбцы – элементным комплексам v′_j.

q_ij =1, если элемент x_i входит в элементный комплекс v′_j (связан j –й цепью),

q_ij =0, если элемент x_i не входит в элементный комплекс v′_j.

	v’1 v’2 v’3 v’4 v’5 v’6
x0	1 1 0 0 1 1
x1	1 1 1 0 0 0
Q = x2	0 0 1 1 1 0
x3	0 1 1 1 0 0
x4	0 0 0 1 0 1

Число единиц в любой строке равно числу цепей, связанных с соответствующим элементом. Число единиц в столбце равно размеру данного элементный комплекса. Одноэлементные комплексы (ρ′_j=1) приводят к образованию петель на вершине x_i ГЭК. Такие комплексы соответствуют цепям, связывающим выводы одного и того же элемента, и не оказывают влияния на решение задач компоновки и размещения. В связи с этим при задании схемы в виде ГЭК они могут быть опущены.