Тема 4. Формальное описание коммутационных схем

4.1 Основные понятия

Применение алгоритмических методов при конструировании электронных устройств предполагает использование математических моделей для описания схем.

Любая электрическая схема состоит из элементов (R, C, D, X, VT, VD…), которые связаны между собой. Связи в электрической схеме соответствуют подаче электрических сигналов (дискретного или аналогового типа) на входы (или полюса) определенных ИЭТ. Для описания схем (создание математической модели) воспользуемся символикой теории множеств.

Схему можно рассмотреть как некоторое множество элементов Х={х₁, х₂,…, х_n}, которые соединены между собой электрическими цепями (множество V={v₁, v₂,…, v_m}). Получим коммутационную схему (схему соединений).

C₀₁

5

х₁

x₂

C₁₃

C₂₁

C₂₃

C₀₃

C₁₁

●

1

3

C₂₂

C₁₂

x₃

x₄

C₀₄

C₀₂

C₃₁

C₃₃

2

6

4

C₄₁

C₄₂

●

●

C₃₂

Каждый элемент схемы имеет некоторое множество соединительных выводов, т.е. множество контактов С = {с₁, с₂,…, с_k}. Существуют так же и внешние выводы с₀, которые осуществляют связь электрической схемы с другими элементами. Будем считать, что внешние выводы принадлежат условному элементу х₀.

Электрическая цепь схемы связывает более чем двух выводов элементов схемы. Совокупность эквипотенциальных выводов схемы называется комплексом (v_j), а число выводов в комплексе размером комплекса (ρ), или размером соответствующей цепи. Множество комплексов и множество цепей схемы - одно и то же, обозначается одинаковыми символами. V={v_j, j=1,2,…,m}. Данные комплексы представляют собой разбиение множества С (множество выводов) на не пересекающие классы:

m

C=U v_j, v_j≠Ø, v_i∩v_j= Ø (i≠j).

j=1

Данное соотношение означает, что выводы, принадлежащие различным цепям схемы, электрически не связаны. Следовательно, общее число выводов в схеме (K):

n m

K= ∑k_i =∑ρ_j,

i=0 j=1

где k_i – число выводов на элементе х_i; ρ_j – размер j-ой цепи.

Элементным комплексом v′_j называется подмножество элементов из Х={х₁, х₂,…, х_n}, соединенных цепью j (j=1, 2,…, m). Если каждый элемент схемы связан, по крайней мере, с одним другим элементом (реальная схема), то

m

Х= U v′_j.

j=1

Но элементные комплексы могут содержать общие элементы, т.е. одна и та же пара элементов соединяется разными цепями v′_i ∩ v′_j ≠Ø.

Размер элементного комплекса (ρ′_j) – число элементов в элементном комплексе v′_j:

ρ′_j= |v′_j|, ρ′_j ≥1,

ρ′_j =1 – цепь j соединяет выводы одного и того же элемента.

В

Х1

Х3

Х2

●

сегда ρ′_j ≤ ρ_j (j=1, 2,…,M) - Размер элементного комплекса меньше или равен размеру комплекса j-ой цепи.

●

●

ρ =6(выводов),

ρ′ =3(элемента)

Т

V2

ак же соответствие между множеством цепей схемы и множеством элементных комплексов не является взаимноодназначным:

Два комплекса (v₁, v₂) и

Х1

Х2

●

о

v′₁= v′₂={х₁, х₂, х₃}

●

●

дин элементный комплекс

Х3

V1