Оптика основные формулы

При прохождении света через границу раздела двух сред выполняется за­кон преломления:

, (5.1)

где i — угол падения; r — угол преломления; n₂₁ — относительный показатель преломления второй среды относительно первой; n₁ и n₂ — абсолютные показа­тели преломления первой и второй сред соответственно.

При преломлении света на сферической поверхности, разделяющей две среды с показателями преломления n₁ и n₂, выполняется соотношение

, (5.2)

где а₁, а₂ и R — расстояния от вершины поверхности до светящейся точки, ее изображения и центра сферы. Здесь соблюдается правило знаков: каждое из расстояний а₁, а₂ и R берется со знаком «+», если оно отсчитывается по направ­лению распространения света, и со знаком «–» в противоположном случае.

Для плоской поверхности (R = ∞)

. (5.3)

Формула тонкой линзы

, (5.4)

где d и f — расстояния от предмета и изображения до линзы соответственно, F— фокусное расстояние линзы, D — оптическая сила линзы. В этой формуле знаки «+» ставятся перед действительными величинами, а знаки «–» перед мнимыми величинами. Для собирающих линз > 0, а для рассеивающих — < 0.

Оптическая сила тонкой линзы выражается через радиусы кривизны ее поверхностей R₁ и R₂ и показатели преломления вещества линзы n_л и окружаю­щей среды n_ср соотношением

. (5.5)

Оптическая сила системы двух близко расположенных линз равна

D = D₁ + D₁, (5.6)

где D₁ и D₂ — оптические силы линз, входящих в систему.

Увеличение оптического прибора, вооружающего глаз,

, (5.7)

где l и l₀ — линейный размеры изображения на сетчатке вооруженного и невоо­руженного глаза; φ и φ₀ — углы зрения, под которыми глаз видит предмет через прибор и без него.

Увеличение телескопа

, (5.8)

где F_об и F_ок — фокусные расстояния объектива и окуляра.

Световым потоком называется поток излучения (т. е. энергия, переноси­мая через данную площадку за единицу времени), оцениваемый по зрительному ощущению:

. (5.9)

Сила света источника равна отношению светового потока, излучаемого в данном направлении, к телесному углу, в котором он распространяется:

. (5.10)

Освещенность измеряется отношением светового потока, падающего на поверхность, к ее площади:

. (5.11)

Освещенность поверхности, создаваемая источником силой света I в точке, удаленной от него на расстояние r, выражается формулой

, (5.12)

где α — угол падения лучей.

Светимость R измеряется световым потоком, излучаемым единицей пло­щади светящейся поверхности. Если светимость тела обусловлена его освещен­ностью, то выполняется соотношение

R = ρE, (5.13)

где ρ — коэффициент рассеяния (отражения), показывающий, какая доля свето­вого потока, упавшего на поверхность данного тела, рассеивается им.

Яркость равна отношению силы света dI источника в данном направле­нии к площадке dS_n проекции светящейся поверхности на плоскость, перпенди­кулярную этому направлению (т. е. площади видимой светящейся поверхно­сти):

, (5.14)

где φ — угол между нормалью к элементу поверхности dS и данным направле­нием.

Если тело излучает по закону Ламберта, согласно которому яркость не зависит от направления, то светимость и яркость связаны между собой соотно­шением

R = πB. (5.15)

Оптическая длина пути, проходимого световым лучом в однородной среде с показателем преломления n, равна

L = ns, (5.16)

где s — геометрическая длина пути луча.

Оптическая разность хода двух световых лучей

Δ = L₂ – L₁. (5.17)

Результат интерференции света от двух когерентных источников при совпадении начальных фаз световых колебаний зависит от величины

, (5.18)

где λ₀ — длина световой волны в вакууме, m — целое число. Четному m (m = 2k, где k = 0, 1, 2, 3, …) соответствует максимальное значение интенсивности света (интерференционный максимум), нечетному m (m = 2k + 1) — минималь­ное (интерференционный минимум).

Расстояние между интерференционными полосами на экране, получен­ными от двух когерентных источников света

, (5.19)

где l — расстояние от источников до экрана, d — расстояние между источни­ками (d << l).

Оптическая разность хода световых лучей, отраженных от двух поверх­ностей тонкой пластинки, по обе стороны которой находятся одинаковые среды, равна

, (5.20)

где h — толщина пластинки, n — абсолютный показатель преломления веще­ства пластинки, r — угол преломления, λ₀ — длина световой волны в вакууме.

Радиусы темных колец Ньютона в отраженном свете определяются фор­мулой

(k = 0, 1, 2, 3, …), (5.21)

а радиусы светлых — формулой

(k = 1, 2, 3, …). (5.22)

З десь R— радиус кривизны линзы, соприкасающейся с плоскопараллельной пластиной, λ — длина световой волны в среде между линзой и пластинкой, k — порядковый номер кольца (k = 0 соответствует центральному темному пятну).

Радиусы зон Френеля для сферической поверхности световой волны, ис­пускаемой точечным изотропным источником S, вычисляются по формуле

, (5.23)

где r_m — радиус внешней границы k-ой зоны (k = 1, 2, 3, …), а — радиус волно­вой поверхности, b — расстояние от вершины волновой поверхности до точки Р, для которой построены зоны Френеля (см. рисунок).

В случае дифракции в параллельных лучах от одной щели положение ми­нимумов освещенности на экране определяется углом φ, отсчитываемым от нормали к плоскости щели и удовлетворяющим условию

(m = 1, 2, 3, …), (5.24)

где а — ширина щели, λ — длина световой волны, m — порядок минимума.

При нормальном падении света на дифракционную решетку положение главных максимумов определяется углами φ, отсчитанными от нормали к плос­кости решетки и выражаемыми формулой

(m = 0, 1, 2, 3, …), (5.25)

где d — постоянная (период) решетки, равная расстоянию между серединами двух соседних щелей, m — порядок максимума.

Разрешающая сила спектрального прибора

, (5.26)

где δλ — наименьшая разность длин волн (λ₁ = λ, λ₂ = λ + δλ) двух близких спектральных линий, при которых они еще разрешаются прибором (т. е. могут восприниматься раздельно).

Разрешающая сила дифракционной решетки

R = kN, (5.27)

где k — порядок спектра, N — число щелей решетки.

Разрешающей силой А объектива оптического прибора называется вели­чина, обратная наименьшему угловому расстоянию δφ между точками, при ко­тором они еще разрешаются прибором (т. е. их дифракционные изображения, созданные объективом, могут восприниматься раздельно). Разрешающая сила объектива телескопа определяется его диаметром D и длиной волны λ света, падающего на прибор, по формуле

(5.28)

При отражении света от границы двух диэлектриков имеют место соот­ношения (формулы Френеля):

, (5.29)

_|| = _|| , (5.30)

где и — интенсивности падающего и отраженного света, у которого ко­ле­бания светового вектора (т. е. вектора напряженности Е электрического поля световой волны) перпендикулярны плоскости падения; и — интенсивно­сти падающего и отраженного света, у которого колебания светового вектора параллельны плоскости падения, i — угол падения, r — угол преломления.

Закон Брюстера: луч, отраженный от границы раздела двух диэлектриков, полностью поляризован, если угол падения i_Б удовлетворяет условию

tg i_Б = n, (5.31)

где n — относительный показатель преломления.

Закон Малюса: интенсивность света, прошедшего через поляризатор и анализатор, пропорциональна квадрату косинуса угла φ между их главными плоскостями, т. е.

, (5.32)

где I₀ — интенсивность поляризованного света, падающего на анализатор.

Степень поляризации света

, (5.33)

где I_max и I_min — максимальная и минимальная интенсивности света, соответст­вующие двум взаимно перпендикулярным направлениям световых колебаний в луче.

Энергетическая светимость R_Э тела измеряется потоком излучения Φ_Э (средней мощностью излучения за время, много большее периода световых ко­лебаний), испускаемым единицей площади светящейся поверхности:

, (5.34)

где dW_Э — энергия, излучаемая поверхностью S за время dt.

Спектральная плотность энергетической светимости r_νТ, характеризую­щая распределение энергии в спектре излучения тела по частотам, определяется соотношениями:

; . (5.35)

Здесь dR_Э — энергетическая светимость, приходящаяся на интервал частот от ν до ν + dν.

Соотношение между спектральными плотностями энергетической свети­мости любого тела и абсолютно черного тела при той же температуре (за­кон Кирхгофа):

, (5.36)

где а_νТ — монохроматический коэффициент поглощения данного тела, т. е. правильная дробь, показывающая, какая часть потока излучения частоты ν, па­дающего на поверхность данного тела, поглощается последним.

Закон Стефана – Больцмана: энергетическая светимость абсолютно чер­ного тела пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры:

R_Э = σТ⁴, (5.37)

где σ = 5,67· Вт/(м²·К⁴) — постоянная Стефана – Больцмана.

Закон смещения Вина: длина волны λ₀, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости в спектре абсолютно чер­ного тела, обратно пропорциональна абсолютной температуре:

, (5.38)

где b = 2,99· м·К — постоянная Вина.

Формула Планка для спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела

, (5.39)

где h = 6,62· Дж·с — постоянная Планка, k — постоянная Больцмана, с — скорость света в вакууме.

Энергия фотона

ε = hν = , (5.40)

где ν — частота фотона, λ — длина световой волны, h — постоянная Планка, с — скорость света в вакууме.

Масса и импульс фотона равны соответственно:

; (5.41)

. (5.42)

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта

hν = А + Т, (5.43)

где hν — энергия поглощенного фотона, А — работа выхода электрона, Т — максимальная кинетическая энергия вылетающего электрона.

Давление света, падающего нормально на поверхность с коэффициентом отражения ρ, равно

, (5.44)

где Е_Э — энергетическая освещенность поверхности, измеряемая световой энергией, падающей на единицу поверхности за единицу времени.

При комптоновском рассеянии изменение длины волны рентгеновских лучей

, (5.45)

где θ — угол рассеивания, m₀ — масса покоя электрона. Величина на­зывается комптоновской длиной волны частицы m₀. Для электрона

λ_с = 0,0242 .

Задачи, в которых требуется определить ход светового луча при наличии одной или нескольких преломляющих плоскостей (например, ход луча через призму), решаются с помощью закона преломления (5.1), применяя его пооче­редно к каждому случаю преломления на границе двух сред и используя гео­метрические соотношения, вытекающие из условия задачи. Если по условию, луч падает на границу двух сред со стороны оптически более плотной среды (n₁ > n₂), то вычисления могут дать значения синуса угла преломления больше единицы. Это будет означать, что луч не преломляется на данной границе, а полностью отражается от нее.

Решая задачи, в которых требуется найти изображение светящейся точки, получаемое в результате преломления на плоской поверхности, следует пом­нить, что при этом гомоцентричность световых пучков¹⁾, вообще говоря, не со­храняется.

При преломлении света на сферических поверхностях только паракси­альные пучки (т. е. пучки, все лучи которых составляют достаточно малые углы с главной оптической осью) сохраняют гомоцентричность.

П ример 1. Человек, стоящий на берегу пруда, смотрит на камень, нахо­дящийся на дне. Глубина пруда h = 1 м. На каком расстоянии от поверхности воды человек видит камень, если луч зрения составляет с вертикалью угол i = 60⁰?

Р е ш е н и е. Восприятие глубины пространства, т. е. расстояния до рассматри­ваемого объекта, обусловлено зрением двумя глазами. Наблюдение светящейся точки одним глазом не дает ощущения глубины, а позволяет лишь судить о том, в каком направлении находится точка. При наблюдении двумя глазами светящаяся точка кажется расположенной там, где пересекаются лучи зрения, соответствующие обоим глазам наблюдателя.

Но лучи, выходящие из какой – либо точки S камня, после преломления на поверхности воды уже не образуют гомоцентрического пучка: продолжения разных пар лучей пересекаются в различных точках . Следовательно, кажу­щаяся глубина пруда зависит от расположения глаз.

Полагая, что оба глаза наблюдателя находятся на одной горизонтали, можно найти положение точки . Пусть луч ВС попадает в один глаз наблюда­теля. Чтобы этот луч попал в другой глаз, надо повернуть весь чертеж вокруг вертикали N на некоторый угол, зависящий от расстояния между глазами. По­сле поворота продолжение луча ВС пересечет вертикаль в той же точке, что и до поворота. Следовательно, эта точка и является искомой точкой — види­мым изображением точки S.

Из рисунка следует, что

.

Отсюда, учитывая, что показатель преломления воды , получим

. (1)

Подставив в формулу числовые значения величин (для воды n = 1,33), найдем = 0,5 м.

П ример 2. Светящаяся точка S находится на главной оптической оси центрированной системы двух тонких линз на расстоянии 40 см от первой линзы. Расстояние между линзами l = 30 см. Где получится изображение точки, если фокусное расстояние каждой из линз F.

Р е ш е н и е. На рисунке точка — изображение светящийся точки S, создан­ное линзой I; — искомая точка, которая найдена как изображение точки , созданное линзой II. Здесь дважды применен способ построения прелом­ленного луча, основанный на том, что все лучи параллельного пучка после пре­ломления с линзе пересекаются в точке, лежащей на пересечении побочной оси с фо­кальной плоскостью.

Чтобы вычислить координату точки на оптической оси, применим к каждой линзе формулу (5.4). Для линзы I получим

, (1)

где а₂ — расстояние от линзы I точки (ее координата). Для линзы II коорди­ната точки , рассматриваемой теперь в качестве предмета, выразится величи­ной a₂ – l независимо от того, по какую сторону от линзы II расположена точка . Следовательно,

. (2)

Здесь а₃ — расстояние от линзы II до точки (ее координата). Исключая из ра­венств (1) и (2) величину а₂ и учитывая, что а₁ = – 40 см, получим

.

Знак величины а₃ в ответе показывает, что точка расположена на расстоя­нии 22 см по ходу луча (т. е. справа) от линзы II.

Основной расчетов освещенности служит закон освещенности (5.12). Он применим лишь для точечных источников, поскольку лишь к таким источникам относится понятие силы света. Освещенность, созданная системой точечных источников, равна сумме освещенностей от каждого источника.

Если на поверхность падают лучи не непосредственно от точечного ис­точника, а после преломления в линзе, то для определения освещенности надо найти изображение, даваемое линзой, и затем рассматривать его как светя­щуюся точку. Силу света I₂ изображения можно определить, зная силу света I₁ источника из соотношения (5.10). Считая, что линза полностью пропускает па­дающий на нее световой поток Φ, и, ограничиваясь параксиальными пучками, получим

Φ = I₁ω₁ = I₂ω₂, (1)

где ω₁ и ω₂ — телесные углы, в которых распространяются пучки света: па­дающий на линзу (ω₁) и преломленный (ω₂). Как следует из геометрических со­ображений,

,

где а₁ и а₂ — расстояния от линзы до предмета и изображения. Все сказанное в отношении линз применимо и к зеркалам. В частности, плоское зеркало, отра­жая свет, не меняет телесного угла, в котором распространяется световой по­ток. Тогда в (1) ω₁ = ω₂ и, следовательно, I₁ = I₂ (при условии, что коэффициент отражения ρ = 1).

Постоянство светового потока при преломлении и отражении света можно использовать для определения освещенности также с помощью фор­мулы (5.11). Зная освещенность Е линзы (зеркала), а также ее площадь S и пло­щадь светового пятна на экране, можно найти освещенность экрана из соот­ношения

Φ = ES = .

Характеристикой протяженных источников света служит яркость В, оп­ределяемая соотношением (5.14). Чтобы найти освещенность, созданную про­тяженным источником, надо разбить его поверхность на элементарные участки dS. Вычислив с помощью соотношения (5.14) силу dI каждого участка:

DI = BdS_n = BcosφdS, (2)

и рассчитав по формуле (5.12) освещенность dE, созданную элементом dS, надо проинтегрировать полученное выражение по всей площади источника. Обычно при этом рассматриваются лишь такие случаи, когда все элементы источника имеют одинаковую яркость по всем направлениям; это упрощает вычисления.

Часто протяженный источник не слишком больших размеров с заданной яркостью и площадью светящейся поверхности все же можно считать точеч­ным и применять к нему сразу закон освещенности (5.12), где сила света со­гласно формуле (2) равна

.

При этом ошибка в расчетах получается незначительной (менее 1%) даже в случаях, когда линейные размеры источника достигают 10% расстояния от ис­точника до освещаемой поверхности.

Яркость изображения протяженного источника света, созданного оптиче­ской системой, никогда не может превысить яркость источника, если только изображение и источник находятся в одной и той же среде и изображение рас­сматривается непосредственно (без экрана). Наличие экрана, на который про­ецируется изображение, существенно меняет дело.

Оптические приборы, вооружающие глаз (лупа, микроскоп, телескоп), дают мнимые изображения. При этом действительное изображение получается на сетчатке глаза. Освещенность сетчатки на месте изображения определяет ощущение яркости, так называемую субъективную яркость. Иногда в задаче требуется сравнить яркости объекта и его мнимого изображения при наблюде­нии объекта глазом, вооруженным прибором. При этом подразумевается именно субъективные яркости. В этом случае задача сводится к сравнению ос­вещенностей сетчатки глаза невооруженного и глаза, вооруженного оптическом прибором.

П ример 3. Точечный источник света S освещает горизонтальную поверх­ность MN. Как изменится освещенность в точке А, находящейся под источни­ком, если сбоку S на таком же расстоянии, как и освещаемая поверхность, по­местить плоское зеркало Z, отражающее свет в А?

Р е ш е н и е. Очевидно, что вследствие отражения от зеркала светового потока освещенность поверхности в точке А увеличится. Чтобы выполнить необходи­мые расчеты, учтем, что отраженные от зеркала лучи пройдут так, словно вы­шли из точки , расположенной симметрично точке S относительно плоскости зеркала. Значит можно считать, что зеркала нет, но имеется два источника света: S и . Так как плоское зеркало, отражая свет, не меняет угла dΩ, в кото­ром распространяется световой поток dΦ, то в соответствии с (5.10) следует по­ложить силу света источников S и одинаковой. Используя вытекающие из по­строения равенства

,

и применив закон освещенности (5.12), найдем освещенность в точке А в отсут­ствие зеркала:

и при наличии зеркала:

.

Из этих равенств получим

Е = 1,12·Е₀.

П ример 4. Тонкая собирающая линза с фокусным расстоянием F = 15 см и диаметром D = 5 см дает изображение Солнца на экране, расположенном нормально к солнечным лучам. Пренебрегая потерями света в линзе, найти среднюю освещенность изображения, если яркость Солнца В_С = 1,5·10⁹ кд/м².

Р е ш е н и е. Среднюю освещенность Е_ср определим из соотношения (5.11), за­менив элементарные величины dΦ и dS конечными величинами Φ и S:

, (1)

где Φ — световой поток, создающий на экране изображение Солнца; S — пло­щадь изображения. Поскольку изображение создается теми же лучами, которые сначала упали на линзу, то можно искать Φ как световой поток, падающий на поверхность линзы S_л. Поэтому на основании той же формулы (5.11) получим

, (2)

где Е — освещенность поверхности линзы солнечными лучами. Выразим ее че­рез данную в условии яркость Солнца, воспользовавшись законом освещенно­сти (5.12) и соотношением (5.14):

, (3)

где r_С — радиус Солнца; — площадь видимой его поверхности (площадь круга, а не полусферы!), R — расстояние от Земли до Солнца. Учитывая, что угловые (видимые) размеры Солнца очень малы, можно принять = α. То­гда, подставив значение Е, определяемое по (3), в формулу (2), получим

. (4)

Чтобы вычислить площадь изображения Солнца, учтем, что оно будет лежать в фокальной плоскости линзы. Поэтому

. (5)

Теперь по формуле (1) с учетом (4) и (5) имеем

. (6)

З а м е ч а н и е. Так как в фотоаппарате изображение обычно получается вблизи фокальной плоскости объектива, то формула (6) выражает освещен­ность изображения на фотопленке фотоаппарата (без учета потерь света в объ­ективе). При этом освещенность пропорциональна яркости В объектива и квад­рату относительного отверстия объектива.

П ример 5. Как изменится освещенность изображения протяженного предмета (например, планеты) на сетчатке глаза при переходе от наблюдения невооруженным глазом к наблюдению в телескоп с увеличением Γ, диаметр объектива которого D. Рассмотреть два случая: 1) Γ > и 2) Γ < , где d₀ — диаметр зрачка. Потерями света в телескопе пренебречь.

Р е ш е н и е. На рисунке показан ход лучей в телескопе, исходящих из элемента объекта, расположенного на оптической оси телескопа. На основании формул (5.7) и (5.8) и чертежа выразим увеличение телескопа рядом соотношений:

, (1)

где d — диаметр выходящего из окуляра светового пучка.

Обозначим освещенности изображений на сетчатке невооруженного глаза через Е₀ и глаза, вооруженного телескопом, — через Е. Для каждой из величин Е₀ и Е, согласно определению освещенности, запишем:

; ,

где Φ₀ и Φ — световые потоки, входящие через зрачок в глаз, не вооруженный и вооруженный телескопом; k — коэффициент, показывающий, какая доля во­шедшего в глаз светового потока достигла сетчатки; S₀ и S — площади изобра­жений на сетчатке невооруженного и вооруженного глаза. Разделим почленно эти два равенства и, основываясь на том, что площадь изображения пропорцио­нальна квадрату его линейных размеров, получим с учетом формулы (1)

. (2)

Таким образом, задача сводится к определению отношения . Рассмотрим оба заданных случая.

1. Γ > . Из равенства (1) следует, что при этом d < d₀. Значит, весь све­товой поток, упавший на объектив, выйдя их окуляра, попадет в глаз наблю­дателя. Т. к. объект создает одинаковую освещенность на поверхностях объек­тива и невооруженного глаза, то отношение можно заменить отноше­нием площадей объектива и зрачка, равным в свою очередь отношению квадра­тов их диаметров. Тогда из формулы (2) получим

.

Т. к., по условию, Γ > , то Е < Е₀. Значит в этом случае освещен­ность Е изображения на сетчатке вооруженного глаза, будучи пропорциональ­ной квадрату диаметра объектива, остается меньше освещенности Е₀ изображе­ния на сетчатке невооруженного глаза.

2. Γ < . Из равенства (1) следует: d > d₀. Значит, теперь лишь часть све­тового потока, выходящего из телескопа, попадет в глаз. Чтобы в этом слу­чае найти отношение , учтем, что телескоп, преобразуя падающий на объек­тив световой пучок, согласно формуле (1) уменьшает его диаметр в Γ раз. При этом площадь поперечного сечения пучка уменьшается в Γ² раз. Поэтому при вооружении глаза телескопом световой поток, входящий через зрачок в глаз, возрастает в Γ² раз. Значит по формуле (2) имеем

.

Отсюда следует, что при условии Γ < вооружение глаза телескопом не при­водит к изменению освещенности на сетчатке.

З а м е ч а н и е. Полученные в обоих случаях результаты оказываются неверными при наблюдении в телескоп звезды. Угловые размеры звезды меньше предела разрешения телескопа, определяемого явлением дифракции света. Это значит, что глаз, вооруженный телескопом, по-прежнему видит звезду светящейся точкой. В этом случае величины S и S₀, входящие в формулу (2) и представляющие собой площади дифракционных изображений звезды, приблизительно равны друг другу, а т. к. Φ >> Φ₀, то Е >> Е₀. Таким образом, телескоп всегда значительно увеличивает освещенность изображения звезды на сетчатке глаза.

Интерференция возможна лишь в случае когерентных волн. Т. к. два лю­бых независимых источника света не являются когерентными, то интерферен­ция света возникает лишь в тех случаях, когда световая волна, испускаемая од­ним источником, разделяется некоторой оптической системой на две части. Со­ответствующие две волны, пройдя различные оптические пути, встречаются на экране (или на сетчатке глаза), создавая интерференционную картину. Послед­нюю нередко удается объяснить, заменяя данную оптическую систему другой, эквивалентное, считая при этом, что имеется не один, а два когерентных источ­ника.

Задачи на интерференцию света делятся в основном на две группы: за­дачи, связанные с интерференцией волн от двух когерентных источников, и за­дачи на интерференцию в тонких пленках. К задачам первой группы относятся случаи интерференции, полученной с помощью зеркал Френеля, зеркала Ллойда, бипризмы Френеля, а также в опыте Юнга. Для расчета интерференци­онной картины используют формулы (5.18) и (5.19), предварительно определив (если это необходимо) положение двух когерентных источников. Вторую группу составляют задачи на интерференцию, как в плоскопараллельных, так и клинообразных тонких слоях, а также задачи на кольца Ньютона. В этих слу­чаях соотношение (5.20) позволяет вычислить оптическую разность хода Δ двух интерферирующих лучей, отраженных от обеих поверхностей слоя. Затем по условию (5.18) определяют результат интерференции.

Решая задачи, связанные с интерференцией в тонких пленках, обратите внимание на то, что формула (5.20) для оптической разности хода двух лучей, отраженных от передней и задней поверхностей пленки, выведена для случая, когда пленка окружена одинаковыми средами. При этом один из лучей отража­ется от границы с оптически менее плотной средой, другой — от границы с оп­тически более плотной средой. В последнем случае фаза светового колебания при отражении скачкообразно изменяется на противоположную. Очевидно, та­кое явление можно трактовать и как уменьшение, и как увеличение фазы на π. Это изменение фазы соответствует изменению оптической разности хода лучей Δ на . Отсюда ясно, что в формуле (5.20) член , выражающий «по­терю» полуволны, можно записывать с любым знаком, т. е. величину Δ можно записать и так:

.

Е сли тонкая пластинка окружена различными средами, то в зависимости от соотношения между показателями преломления сред n₁, n₂ и показателя пла­стины n возможны следующие случаи: а) n > n₁, n > n₂, при этом луч 1, отра­женный от границы с оптически более плотной средой «теряет» полуволну; б) n < n₁, n < n₂ — «теряет» полуволну только луч 2; в) n₁ < n < n₂ — оба луча «те­ряют» полуволну; г) n₁ > n > n₂ — ни один луч не «теряет» полуволну. Оче­видно, что для первых двух случаев соотношение (5.20) остается в силе. Т. к. «потеря» полуволны обоими лучами не скажется на их разности хода, то в по­следних двух случаях в формуле (5.20) величину надо отбросить. Тогда по­лучим

.

При интерференции света, известной под названием колец Ньютона, роль тонкой пленки играет прослойка (обычно воздушная) между пластинкой и вы­пуклой поверхностью прижатой к ней линзы. Формулы (5.21) и (5.22) для ра­диусов колец выведены в предположении, что эта прослойка окружена одина­ковыми средами, т. е. пластинка и линза должны иметь одинаковые –показа­тели преломления. В этом отношении дело обстоит здесь так, как и с формулой (5.20). Поэтому, приняв на рисунке n₁, n, n₂ за показатели преломления линзы, прослойки и пластинки и повторив вышеприведенные рассуждения, полагая, что прослойка окружена различными средами (n₁ ≠ n₂), придем к выводу о том, что формулы (5.21) и (5.22) остаются верными в случаях а) и б). Если выполня­ется условие в) или г), то величина Δ будет отличаться от той, что была в слу­чаях а) и б), на . Это вызовет обращение интерференционной картины: свет­лые и темные кольца поменяются местами.

Пример 6. На зеркала Френеля, угол между которыми , падает мо­но­хроматический свет от узкой щели S, находящейся на расстоянии r = 0,1 м от линии их пересечения. Отраженный от зеркал свет дает интерференционную картину на экране Э, отстоящем на расстоянии а = 2,7 м от линии их пересече­ния, причем расстояние между интерференционными полосами равно x = м. Определить длину волны света λ.

Р е ш е н и е. После отражений от зеркал OK и OL световые волны распростра­няются так, как будто вышли из двух когерентных источников S₁ и S₂, являю­щихся мнимыми изображениями щели S.Пусть расстояние между источниками S₁ и S₂ равно d, а расстояние от них до экрана l. Величины l, d, x и λ связаны между собой соотношением (5.19), откуда

. (1)

Чтобы найти d и l, учтем, что точки S₁ и S₂ симметричны точке S относительно соответствующих зеркал. Поэтому S₁O = S₂O = r и . Так как угол α весьма мал и экран обычно располагается параллельно отрезку S₁S₂, то можно записать:

d = 2αr, l = r + a.

Подставив эти значения d и l в (1), получим

.

П осле подстановки числовых значений, найдем λ = м = 0,6 мкм.

Пример 7. Между двумя плоскопараллельными пластинками заключен очень тонкий воздушный клин. На пластинки нормально падает монохромати­ческий свет (λ = 0,50 мкм). Определить угол α между пластинками, если в от­раженном свете на протяжении l = 1,00 см наблюдается N = 20 интерференци­онных полос.

Р е ш е н и е. В данном случае интерферируют лучи 1 и 2, отраженные от двух поверхностей тонкого воздушного клина (чтобы лучше различать эти лучи, угол падения на верхнюю пластину взят отличным от нуля). Наблюдаемые на поверхности клина интерференционные полосы будут полосами равной тол­щины, представляя собой геометрическое место точек, соответствующих оди­наковой толщине клина. Очевидно, эти полосы располагаются параллельно ребру клина и перпендикулярно плоскости чертежа.

Пусть точки А и В соответствуют двум соседним интерференционным полосам. Проведем прямую ВС, параллельную верхней пластине, и, учитывая, что искомый угол весьма мал, найдем

, (1)

где h_A и h_B — толщины воздушного клина в точках А и В. Предположим для оп­ределенности, что АВ — расстояние между темными интерференционными по­лосами. Тогда обе величины h_A и h_B найдем, приравняв правые части формул (5.18) и (5.20) и взяв m = 2k + 1. Т. к. r = 0, n = 1 (воздух) и h > 0, то

. (2)

Поскольку величины h_A и h_B относятся к соседним полосам, то в формуле (2) числа k, соответствующие величинам h_A и h_B, должны различаться на еди­ницу. Следовательно,

. (3)

Теперь из (1) с учетом (3) найдем

.

Подставляя численные значения и выполнив вычисление, получим

Α = 5,0· рад = .

Пример 8. Сферическая поверхность плосковыпуклой линзы (n₁ = 1,52) соприкасается со стеклянной пластинкой (n₂ = 1,70). Пространство между лин­зой, радиус кривизны которой R = 1,00 м, и пластиной заполнено жидкостью. Наблюдая кольца Ньютона в отраженном свете (λ₀ = 0,589 мкм), измерили ра­диус ρ десятого темного кольца. Определить показатель преломления жидкости n_ж в двух случаях: 1) ρ = 2,05 мм; 2) ρ = 1,90 мм.

Р е ш е н и е. Искомый показатель преломления n_ж не входит в явном виде в формулы (5.21), (5.22) для радиусов колец Ньютона. Однако его легко ввести в эти формулы, если воспользоваться соотношением между длиной волны λ, ско­ростью света u и частотой колебаний ν, а также зависимостью скорости u от по­казателя преломления среды:

, (1)

где с — скорость света в вакууме.

Прежде чем подставить значение λ из (1) в формулу (5.21) для темных колец, обратим внимание на то, что эта формула выведена для случая, когда показатели преломления линзы и пластинки одинаковы. В данной задаче это условие не соблюдено. Т. к., кроме того, неизвестен показатель преломления жидкости, мы не сможем сейчас решить вопрос о том, какая из формул (5.21), (5.22) относится к темным кольцам.

Предположим, что показатель преломления жидкости n_ж удовлетворяет одному из двух неравенств:

n_ж < n₁ < n₂; n₁ < n₂ < n_ж. (2)

Тогда для темных колец будет верна формула (5.21). Отсюда, учитывая соот­ношение (1), получим

. (3)

Выполнив вычисления, найдем:

1) n_ж1 = 1,41; 2) n_ж2 = 1,63.

Теперь сделаем единственно возможное другое предположение относи­тельно величины n_ж: пусть¹⁾

n₁ < n_ж < n₂. (4)

В этом случае для темных колец верна формула (5.22). Вместе с соотношением (1) она дает

. (5)

Выполнив вычисления по формуле (5), получим:

1) n_ж1 = 1,34; 2) n_ж2 = 1,55.

Сравнив результаты вычислений по формулам (3) и (5) для обоих случаев (очевидно, соответствующим двум разным жидкостям), видим, что в первом случае (n_ж1 = 1,41; n_ж1 = 1,34) значение показателя преломления жидкости удов­летворяет одному из неравенств (2), но не удовлетворяет неравенству (4). Сле­довательно, из двух формул (3) и (5) правильный ответ дает формула (3), т. е. для первой жидкости n_ж1 = 1,41. Во втором случае (n_ж2 = 1,63; n_ж2 = 1,55) вы­полняется только неравенство (4). Следовательно, теперь правильный ответ дает формула (5), т. е. для второй жидкости n_ж2 = 1,55.

В явлении дифракции световые волны огибают оптические неоднородно­сти, встречающиеся на пути их распространения. Падая на экран, волны дают распределение освещенности на нем, отличное от того, которое должно быть согласно законам геометрической оптики.

Решить дифракционную задачу — значит найти относительное распреде­ление освещенности на экране в зависимости от размеров и формы неоднород­ностей, вызывающих дифракцию. Решение этой задачи в общем случае явля­ется весьма сложным. В курсе общей физики рассматривают лишь те случаи, в которых соображения симметрии упрощают расчет, например дифракцию от круглого отверстия, от узкой щели, а также дифракционную решетку.

В случае дифракции в параллельных лучах от одной щели для максиму­мов освещенности на экране не существует столь простого соотношения, как формула (5.24), определяющая положения дифракционных минимумов. Иногда пользуются формулой

(k = 1, 2, 3, …),

где — угол, соответствующий дифракционному максимуму k-го порядка. Од­нако эта формула неточна: она дает завышенные значения для угла . При ошибка для составляет около 5%, при увеличении k ошибка убы­вает.

При использовании в задачах формулы (5.28), определяющей разрешаю­щую силу объектива телескопа, следует иметь в виду, что — угловое рас­стоя­ние между двумя точками, при котором их дифракционные изображения в фокальной плоскости объектива располагаются так, что еще могут быть вос­приняты раздельно.

Однако для того чтобы они фактически воспринимались раздельно, не­об­ходимы дополнительные условия. Так, при визуальном наблюдении в теле­скоп требуется достаточное увеличение прибора, чтобы полученные два ди­фракци­онных изображения были разрешены также глазом. При фотографиро­вании объектов необходимо, чтобы размер зерен эмульсии фотопленки был сущест­венно меньше расстояния между центрами дифракционных изображе­ний. По­следнее условие должно соблюдаться и при фотографировании удален­ных объ­ектов фотоаппаратом, разрешающая сила объектива которого в этом случае также определяется формулой (5.28).

Пример 9. На щель падает нормально параллельный пучок монохрома­тического света. Расположенная за щелью линза с фокусным расстоянием проектирует на экран дифракционную картину в виде чередую­щихся светлых и темных полос. Ширина светлой центральной полосы b = 5,0 см. Как надо изменить ширину щели, чтобы центральная полоса занимала весь экран при любой ширине последнего?

Р е ш е н и е. Изображенная на рисунке кривая показывает распределение ин­тенсивности света на экране. Центральная светлая полоса заключена между двумя минимумами первого порядка. Ее ширина b зависит от угла дифракции φ, соответствующего первому минимуму. В свою очередь угол φ связан с ши­риной щели а формулой (5.24), где m = 1. Так как при изменении ширины щели от а₁ до а₂ величины λ и m остаются постоянными, то из (5.24) следует, что

, (1)

где φ₁ и φ₂ — углы первых дифракционных минимумов, соответствующих раз­мерам щели а₁ и а₂.

Из условия видно, что угол φ₁ весьма мал. Поэтому . С другой стороны, чтобы центральная полоса занимала весь экран при любой ширине последнего, должно выполняться соотношение , . Под­ставив найденные значения в (1), получим

.

Таким образом, ширину щели следует уменьшить в 40 раз.

Пример 10. Определить длину волны монохроматического света, па­дающего нормально на дифракционную решетку с периодом d = 2,20 мкм, если угол между максимумами первого и второго порядков спектра Δφ = 15⁰.

Р е ш е н и е. Пусть φ₁ и φ₂ — углы дифракции, соответствующие максимумам первого (k = 1) и второго (k = 2) порядков. По условию,

φ₂ – φ₁ = Δφ. (1)

Из формулы дифракционной решетки (5.25) следует, что

d·sinφ₁ = λ, (2)

d·sinφ₂ = 2λ. (3)

Система уравнений (1), (2) и (3) содержит три неизвестных: φ₁, φ₂ и λ. Разделив почленно (2) на (3), получим sin φ₂ = 2sin φ₁ или, учитывая (1),

sin(φ₁ + Δφ) = 2sinφ₁.

Решив это тригонометрическое уравнение относительно sin φ₁, найдем

. (4)

Теперь из (2) с учетом (4) определим искомую величину:

.

Подставив в (5) числовые значения величин (sin Δφ = 0,259, cos Δφ = 0,966), по­лучим

λ = 0,54 мкм.

Пример 11. При каком минимальном числе штрихов дифракционной ре­шетки с периодом d = 2,9 мкм можно разрешить компоненты дублета желтой линии натрия (λ₁ = 5890 и λ₂ = 5896 )?

Р е ш е н и е. Число штрихов N решетки связано с ее разрешающей силой R и порядком спектра k соотношением (5.27), откуда следует: . Минималь­ному значению N_min соответствует минимальное значение R_min и максимальное число k_max, т. е.

. (1)

Минимальная разрешающая сила решетки R_min, необходимая для разрешения дублета (двух составляющих) желтой линии натрия, выражается через вели­чины λ₁ и λ₂ по формуле (5.26):

. (2)

Число k_max найдем из формулы дифракционной решетки (5.25), если положим в ней sin φ = 1 и λ = λ₂ (последнее соотношение гарантирует, что обе компоненты дублета с порядковым номером k_max будут видны). Учитывая при этом, что k — целое число, и введя функцию E(x) — целую часть числа x¹⁾, получим

. (3)

Подставив значения R_min и k_max из (2) и (3) в соотношение (1), найдем

.

Пример 12. При каком увеличении Γ телескопа разрешающая сила его объектива диаметром D будет полностью использована, если диаметр зрачка d₀?

Р е ш е н и е. Дифракционные явления, происходящие как в телескопе, так и в глазе, Ограничивают их разрешающие способности. Из (5.28) для разрешающей силы объектива телескопа имеем

. (1)

Формулу (5.28) можно также применить и для разрешающей силы глаза, заме­нив диаметр объектива диаметром зрачка d₀:

, (2)

где δφ_гл — наименьшее угловое расстояние между двумя точками объекта (или его действительного изображения), которое может разрешить глаз.

Так как d₀ < D, то δφ_гл > δφ_об. Для полного использования разрешающей силы объектива при визуальном наблюдении необходимо, чтобы угол δφ_об, уве­личенный оптической системой телескопа в Γ раз, оказался не меньше угла δφ_гл, т. е.

Δφ_об·Γ ≥ δφ_гл; (3)

В противном случае изображения двух точек объекта, разрешенных объекти­вом, не будут разрешены глазом, т. е. Сольются на сетчатке в одно дифракци­онное изображение. Из (3) с учетом (1) и (2) находим

. (4)

Условие (4) дает ответ на вопрос задачи: при разрешающая сила объектива используется полностью, при Γ < — частично.

Задачи, в которых рассматривается поляризация света при отражении и преломлении света на границе двух диэлектриков, решаются с помощью фор­мул Френеля (5.29) и (5.30). Их частным случаем является закон Брюстера. Об­ратите внимание: в формуле (5.31), выражающей закон Брюстера, n — относи­тельный показатель преломления двух диэлектриков, на границе которых про­исходит отражение света.

Для расчетов величин и _|| по формулам (5.29) и (5.30) необходимо знать угол падения I и угол преломления r. При падении света на границу двух сред со стороны более оптически плотной среды может случиться, что вычис­ления дадут для угла преломления > 1. Так как угла r, удовле­тво­ряющего этому неравенству не существует, такой результат должен озна­чать, что свет не будет преломляться на данной границе, т. е. Возникнет полное внутреннее отражение. В этом случае , _|| = _|| и полная интенсивность отраженного луча _|| равна интенсивности падающего луча _||.

Главной плоскостью (главным направлением) поляризатора называют плоскость, в которой происходят колебания светового вектора в плоскополяри­зованном луче, выходящем из прибора. Этими же терминами характеризуют анализатор, который представляет собой тот же прибор, что и поляризатор, но служит для анализа поляризованного света. Следовательно, величина φ в фор­муле (5.32) является одновременно углом между плоскостями, в которых ко­леблются световые векторы двух плоскополяризованных лучей: падающего на анализатор и выходящего из него.

П ример 13. Вывести закон Брюстера с помощью формул Френеля.

Р е ш е н и е. Предварительно заметим, что при падении света под углом Брю­стера I_Б, определяемым формулой (5.31), отраженный и преломленный лучи взаимно перпендикулярны. Действительно, с учетом закона преломления света формулу (5.31) можно переписать в виде

,

где r — угол преломления. Следовательно, cos i_Б = sin r. Поскольку эти углы острые, то

, (1)

что означает взаимную перпендикулярность отраженного и преломленного лу­чей (см. рисунок). Очевидно, обратив приведенные рассуждения, можно из со­отношения (1) получить равенство (5.31), выражающее закон Брюстера.

Теперь обратимся к формулам Френеля. Из (5.30) при условии (1) сразу получаем _|| = 0. Это означает, что при угле падения I_Б, определяемом по (5.31), в отраженном луче останутся световые колебания лишь одного направ­ления (перпендикулярные плоскости падения), т. е. Отраженный луч будет полностью поляризован. Но в этом и состоит закон Брюстера, являющийся, та­ким образом, следствием формул Френеля.

Пример 14. Естественный свет падает под углом Брюстера на поверх­ность стекла (n = 1,6). Определить коэффициент отражения.

Р е ш е н и е. Коэффициент отражения ρ показывает, какую долю от интенсив­ности падающего света I составляет интенсивность отраженного света , т. е.

. (1)

Свет, отраженный от диэлектрика под углом Брюстера, полностью поляризо­ван. При этом в отраженном луче присутствуют лишь световые колебания, пер­пендикулярные плоскости падения (см. предыдущий пример). Поэтому на ос­новании формулы (5.29) и соотношения (1) предыдущего примера получим

(2)

Так как в естественном свете величина составляет половину от интен­сивности I, то из (1) и (2) следует

. (3)

Углы i_Б и r можно найти, зная показатель преломления стекла n. По закону Брюстера tg i_Б = n = 1,6. Отсюда I_Б = 58⁰, r = 90⁰ – 58⁰; i_Б – r = 26⁰. Теперь из (3) получим

ρ = 0,5 sin² 26⁰ = 0,10, или 10%.

П ример 15. Из кварца нужно вырезать пластинку, параллельную оптиче­ской оси кристалла, толщиной около 0,6 мм так, чтобы плоскополяризованный луч желтого света (λ = 0,589 мкм), пройдя пластинку, стал поляризованным по кругу. Рассчитать толщину пластинки, если для желтых лучей в кварце показа­тели преломления обыкновенного и необыкновенного лучей соответственно равны: n₀ = 1/544, n_e = 1,553.

Р е ш е н и е. Скорость света в кристалле зависит от угла α между вектором све­товых колебаний Е и оптической осью кристалла. Так, в кварце при ско­рость света — наибольшая, следовательно, показатель преломления n_O — наименьший¹⁾; при α = 0 скорость света — наименьшая, а показатель преломле­ния — наибольший. Поэтому если на пластинку кварца К, вырезанную парал­лельно оптической оси кристалла, падает плоскополяризованный луч (напри­мер, испущенный источником S и прошедший николь N), световые колебания которого имеют амплитуду Е₀ и составляют угол α с оптической осью кри­сталла, то внутри пластинки будут распространяться по одному направлению, но с разными скоростями два луча — две компоненты поляризованного света. В одном луче — обыкновенном — колебания перпендикулярны оптической оси и имеют амплитуду Е₀ sin α, в другом — необыкновенном — колебания парал­лельны оптической оси и имеют амплитуду Е₀ cos α. Заметим, что при α = 45⁰ амплитуды обоих лучей равны.

Обладая разными скоростями, обыкновенный и необыкновенный лучи, пройдя пластину К, приобретут некоторую разность фаз φ, которая связана с оптической разностью хода соотношением

, (1)

где величина Δ — определяется формулами (5.16) и (5.17):

. (2)

Из (1) и (2) получим разность фаз обоих лучей:

. (3)

В результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний оди­наковых периодов, но разных фаз возникнут эллиптические колебания, при ко­торых конец вектора Е описывает эллипс. В частности, при равенстве амплитуд (α = 45⁰) и разности фаз эллипс вырождается в окружность. При этом свет будет поляризован по кругу.

Очевидно, к тому же результату можно прийти, положив разность фаз равной

. (4)

Из (3) и (4) найдем толщину пластинки, необходимую для получения света с круговой поляризацией:

. (5)

Подставив в (5) числовые значения (l принимаем равным 0,60 мм), найдем для k значение 8,9. Так как k — целое число, то, округлив результат до ближайшего целого числа, возьмем k = 9. Теперь подставив в (5) k = 9, определим точное значение толщины пластинки (ближайшее к 0,6 мм), необходимое для круговой поляризации света: l = 0,605 мм.

Наряду с величиной r_νT определяемой по (5.35), спектральную плотность энергетической светимости тела характеризуют также величиной r_λT, показы­вающей распределение энергии излучения по длинам волн и выражаемой фор­мулой

, (5.46)

где dR_Э — энергетическая светимость, приходящаяся на интервал длин волн от λ до λ + dλ. Между величинами r_νT и r_λT существует простое соотношение (см. пример).

Формулы (5.37) — (5.39) справедливы лишь для абсолютно черного тела. Для нечерных тел вместо (5.37) пишут

, (5.47)

где а_Т — коэффициент излучения, показывающий, какую часть составляет энергетическая светимость данного тела от энергетической светимости R_Э аб­солютно твердого тела, взятого при той же температуре. Он зависит от при­роды тела и от его температуры.

Иногда в учебной литературе, ссылаясь на закон Кирхгофа, заменяют в формуле (5.47) коэффициент излучения а_Т коэффициентом поглощения , т. е. правильной дробью, показывающей, какая часть энергии, излученной абсо­лютно черным телом и падающей на поверхность данного тела, поглощается последним. При этом не указывают, о каком именно нечерном теле идет речь. Необходимо твердо помнить, что равенство коэффициентов а_Т и имеет ме­сто только для так называемого серого тела, у которого монохроматический ко­эффициент поглощения а_νТ одинаков для всех частот и, следовательно, .

Пример 16. Электрическая печь потребляет мощность Р = 500 Вт. Тем­пература ее внутренней поверхности при открытом небольшом отверстии диа­метром d = 5.0 см равна 700 ⁰С. Какая часть потребляемой мощности рассеива­ется стенками?

Р е ш е н и е. При установившемся тепловом режиме печи вся ежесекундно по­требляемая ею электрическая энергия (т. е. мощность) Р излучается наружу от­верстием и стенками. Следовательно,

, (1)

где и — потоки излучения, испускаемые отверстием и стенками соот­вет­ственно. В задаче требуется найти отношение . С учетом (1) его можно выразить следующим образом:

. (2)

Рассматривая излучение печи через небольшое отверстие в ней как излу­чение абсолютно черного тела, из формулы (5.34) и закона Стефана – Больц­мана (5.37) находим

. (4)

Теперь по формуле (2) с учетом (3) получим

.

Подставив в эту формулу численные значения величин, выраженные в едини­цах СИ: Р = 500 Вт; D = 0,05 м; Т = 973 К; σ = 5,67· Вт/(м²·К⁴), и выполнив вычисления, найдем

α = 0,8.

Пример 17. Вольфрамовая нить накаливается в вакууме током силой I = 1,0 А до температуры Т₁ = 1000 К. При какой силе тока нить накалится до тем­пературы Т₂ = 3000 К? Коэффициенты излучения вольфрама и его удельные со­противления, соответствующие температурам Т₁ и Т₂, равны ; = 0,334; Ом·м, Ом·м.

Р е ш е н и е. Рассматривая, как и в предыдущем примере, излучающее тело при установившейся температуре, получим

Р = Φ_Э, (1)

где Р — мощность, потребляемая нитью от источника электрической энергии, Φ_Э — поток излучения, испускаемый нитью. Выразим мощность Р через вели­чины I и ρ:

. (2)

Чтобы найти поток излучения Φ_Э, необходимо учесть, что излучение вольфрама существенно отличается от излучения абсолютно черного тела, нагретого до такой же температуры. Поэтому, используя соотношения (5.47) и (5.34), запи­шем

. (3)

Из (1) — (3) следует

.

Записав эти уравнения дважды для нити, нагретой до температур Т₁ и Т₂, полу­чим

, .

Разделив почленно эти два уравнения, найдем ответ:

7,9 А.

Пример 18. В спектре Солнца максимум спектральной плотности энерге­тической светимости приходится на длину волны λ₀ = 0,47 мкм. Приняв, что Солнце излучает как абсолютно черное тело, найти интенсивность солнечной радиации (т. е. плотность потока излучения) вблизи Земли за пределами ее ат­мосферы.

Р е ш е н и е. Согласно определению плотности потока излучения I, называемой также интенсивностью излучения (радиация), можно записать:

. (1)

Здесь W_Э — энергия излучения, — поток излучения сквозь поверх­ность S. Сравнивая (1) и (5.34), мы видим, что величины I и R_Э выражаются в одинаковых единицах.

Очевидно, что интенсивность излучения I Солнца вблизи Земли пропор­циональна энергетической светимости R_Э поверхности Солнца. Чтобы найти связь между величинами I и R_Э, учтем, что весь поток излучения, испускаемый поверхностью Солнца (пусть r_⊙ — радиус Солнца), проходит сквозь поверх­ность сферы, радиуса r, равного расстоянию от Солнца до Земли:

Ф_Э = R_Э 4π·r²_⊙ = I 4π·r².

Отсюда

I = R_Э·r²_⊙/r². (2)

Используя закон Стефана – Больцмана (5.37) и вычислив температуру солнечной поверхности по закону смещения Вина (5.38), найдем

. (3)

Так как величины r_⊙ и r — табличные, то, записав в (2) вместо R_Э ее значение из (3), определим искомую величину:

.

Подставим в формулу числовые значения величин, выраженные в единицах СИ: , r_⊙ = 6,95·10⁸ м, r = 1,50·10¹¹ м, , b = . Выполнив вычисления, получим

I = 1,8·10³ кВт/м².

З а м е ч а н и е. В действительности, как показывает опыт, величина . Неточность найденного значения объясняется тем, что излуче­ние Солнца отличается от излучения абсолютно черного тела. Поэтому фор­мулы (5.36) и (5.37) оказываются в данном случае приближенными.

Пример 19. Используя результат предыдущей задачи, определить уста­новившуюся температуру тонкой пластинки, расположенной вблизи Земли за пределами ее атмосферы перпендикулярно лучам Солнца. Считать температуру пластинки одинаковой во всех точках. Рассмотреть два случая, считая пла­стинку телом: 1) абсолютно черным; 2) серым.

Р е ш е н и е. Независимо от свойств пластинки ее температура установится то­гда, когда поток излучения Ф_Э1, испускаемый нагретой пластинкой, станет рав­ным потоку излучения Ф_Э2 Солнца, поглощаемому пластинкой, т. е.

Ф_Э1 = Ф_Э2. (1)

1.Если пластинка обладает свойствами абсолютно черного тела, то она поглощает весь падающий на нее поток излучения. Поэтому на основании фор­мулы (1) предыдущего примера мы можем записать

Ф_Э2 = I·S, (2)

где S — площадь поверхности пластинки, обращенной к Солнцу.

Поток излучения Ф_Э1 пластинки найдем по закону Стефана – Больцмана, учитывая, что излучают обе стороны пластинки:

Ф_Э1 = σT⁴ 2S. (3)

Из (1) — (3) находим

IS = σT⁴ 2S, (4)

Откуда

= 3,3·10² К.

2. Не являясь абсолютно черным телом, пластинка будет поглощать и из­лучать меньше энергии, чем в первом случае. Поэтому теперь вместо (4) сле­дует записать

, (5)

где — коэффициент поглощения, — коэффициент излучения. Но для се­рого тела . Действительно, умножая обе части (5.36) на dν и интегрируя по всем частотам, получим

.

Для серого тела

(6)

для всех частот. Поэтому, вынося величину за знак интеграла и учиты­вая (5.35), получим связь между энергетическими светимостями серого тела и абсолютно черного тела R_Э:

. (7)

Сравнивая (7) и (5.47), видим, что . Значит уравнение (5) приводит к преж­нему результату, т. е. Температуры серой и черной пластинок одинаковы.

З а м е ч а н и е. Для общего случая нечерного тела, обладающего избиратель­ным поглощением условие (6) не выполняется. Теперь коэффициент поглоще­ния зависит не только от свойств и температуры пластинки, но и от распреде­ления энергии в спектре Солнца. Поэтому и температура нечер­ного тела не равна температуре абсолютно черного тела. Знак неравенства зависит от того, к какой части спектра принадлежит излучение, преимущест­венно поглощаемое пластинкой. Наиболее высокой будет температура пла­стинки в том случае, если это излучение относится к интервалу частот, соответ­ствующему наибольшему значению спектральной плотности энергетической светимости Солнца.

Пример 20. Исходя из определяющих формул (5.35) и (5.46), найти соот­ношение между величинами и , характеризующими спектральную плот­ность энергетической светимости тела. Записать формулу Планка для величины .

Р е ш е н и е. Всякий элементарный участок спектра излучения можно охарак­теризовать как интервалом частот dν, так и интервалом длин волн dλ. Так как величины ν и λ связаны известным соотношением

ν = с/λ, (1)

то

. (2)

Отсюда видно, что величины dν и dλ имеют противоположные знаки.

Одному и тому же участку спектра соответствует одна и та же величина в формулах (5.35) и (5.46). Поэтому учитывая знаки dν и dλ, получим

. (3)

Из (3) и (2) находим ответ на первый вопрос задачи:

. (4)

Для того чтобы в формуле Планка (5.45) перейти к величине , доста­точно воспользоваться соотношениями (1) и (4):

,

или

. (5)

Пример 21. Определить с помощью формулы Планка энергетическую светимость ΔR_Э абсолютно черного тела, приходящуюся на узкий интервал длин волн Δλ = 10 , соответствующую максимуму спектральной плотности энергетической светимости при температуре тела Т = 3000 К.

Р е ш е н и е. Поскольку речь идет об узком интервале частот, то их соотноше­ния (5.46) следует

, (1)

где — максимальное значение спектральной плотности энергетической свети­мости абсолютно черного тела при данной температуре.

Чтобы определить величину по формуле Планка, надо кроме темпера­туры знать длину волны, соответствующую величине . Эту длину волны λ най­дем по закону смещения Вина (5.38):

.

Теперь подставив это значение λ в формулу Планка для r_λ, выведенную в пре­дыдущем примере, получим

. (2)

Из формул (1) и (2) находим ответ:

. (3)

Приступая к вычислениям, обратим внимание на то, что уравнение (2), полу­ченное нами из формулы Планка и закона смещения Вина, выражает пропор­циональную зависимость между величинами и Т⁵. Его иногда называют вто­рым законом Вина, записывая в виде

.

При этом значение константы

можно найти в таблицах. В таком случае расчетная формула (3) упрощается:

.

Подставив числовые значения величин, выраженные в единицах СИ: , Т = 3000 К, Δλ = м, и выполнив вычисления, по­лучим

ΔR_Э = 3,2·10³ кВт/м².

Далее рассматриваются задачи на взаимодействие фотонов с веществом (давление света) или с отдельными электронами (фотоэффект, явление Томп­сона), которое подчиняется законам сохранения энергии и импульса. Так, закон сохранения импульса, применяемый к взаимодействию фотонов с веществом, приводит к формуле (5.44) для светового давления; закон сохранения энергии, записанный для взаимодействия фотона с электроном, связанным в атоме ме­талла, есть уравнение Эйнштейна для фотоэффекта (5.43), а совместное приме­нение этих законов для взаимодействия фотона со свободным электроном дает формулу Комптона (5.45).

Вычисляя скорость электрона, необходимо считать его классической час­тицей, если кинетическая энергия электрона T << W₀, где W₀ = m₀c² =0,511 МэВ — энергия покоя электрона. Так как при фотоэффекте в кинетическую энергию превращается лишь часть энергии фотона hν, то неравенство T << W₀ будет за­ведомо выполняться при условии hν << W₀ или << W₀. С учетом соотноше­ния W₀ = m₀c² последнее неравенство можно записать в виде

λ >> λ_с,

где λ_с — комптоновская длина волны для электрона.

Если последнее неравенство не выполняется, то электрон следует считать релятивистской частицей и применять к нему соотношение

.

Заметим, что значению λ_с = 0,0242 соответствует очень коротковолно­вое («жесткое») рентгеновское излучение, а также γ – излучение. Значит, если фотоэффект вызван излучением, относящимся к видимой части спектра, или ультрафиолетовыми лучами, то при расчете скорости электрона его можно счи­тать классической частицей.

Формула давления света (5.44) справедлива лишь для случая нормаль­ного падения света на поверхность. Вместо величины Е_Э в этой формуле часто пишут интенсивность света I (плотность потока излучения). Действительно, как это следует из определения величин Е_Э и I, в случае нормального падения света Е_Э = I.

Пример 22. Определить минимальную длину волны в сплошном спектре рентгеновских лучей, если рентгеновская трубка работает под напряжением .

Р е ш е н и е. Сплошной рентгеновский спектр возникает вследствие торможе­ния электронов, разогнанных в трубке электрическим полем, при ударах их об антикатод. Существование коротковолновой границы сплошного рентгенов­ского спектра вытекает из квантовой природы излучения. Действительно, под­летая к антикатоду, электрон обладает кинетической энергией Т, равной работе, совершенной над ним силами электрического поля, т. е.

Т = eU, (1)

где е — заряд электрона. При ударе об антикатод энергия электрона Т частично или полностью превращается в квант энергии hν. Наибольшей частоте (наи­меньшей длине волны) соответствует случай, когда вся энергия Т превращается в квант hν. Тогда, согласно формуле (5.40),

. (2)

Из (1) и (2) следует

. (3)

Подставим в (3) числовые значения величин, выраженные в единицах СИ: h = 6,62· Дж·с, с = 3·10⁸ м/с, е = 1,6· Кл, U = 3·10⁴ В. Выполнив вы­числение, получим

λ_min = 0,41· м = 0,41 .

Пример 23. Монохроматический (λ = 0,662 мкм) пучок света падает нор­мально на поверхность с коэффициентом отражения ρ = 0,8. Определить коли­чество фотонов, ежесекундно поглощаемых 1 см² поверхности, если давление света на поверхность Р = 1,0 мкПа.

Р е ш е н и е. Так как условие задачи позволяет найти энергию фотона hν, то выразим искомое число N поглощенных фотонов как отношение энергии света W, поглощенного 1 см² поверхности за 1 с, к энергии hν одного фотона, т. е.

. (1)

Чтобы связать величину W с данным давлением Р света, воспользуемся формулой (5.44). Входящую в нее энергетическую освещенность Е_Э, согласно определению, выразим так:

, (2)

где W₀ — энергия света, падающего на площадку S за время t.

Из определения коэффициента отражения ρ следует, что между величи­нами W и W₀ имеется соотношение

W = W₀(1 – ρ). (3)

Таким образом с учетом (2) и (3) формула (5.44) принимает вид

. (4)

Исключив величину W из уравнений (1) и (4), получим ответ

.

Выразим в единицах СИ входящие в формулу величины: Р = 1,0· Па, λ = 0,662· м, S = м², t = 1 с, h = 6,62· Дж·с, ρ = 0,8. Выполнив вычис­ления, найдем

N = 1,0·10²¹.

Пример 24. Параллельный пучок света с интенсивностью I = 0,2 Вт/см² падает под углом φ = 60⁰ на плоское зеркало с коэффициентом отражения . Определить давление света на зеркало.

Р е ш е н и е. Если бы свет падал на зеркало нормально (φ = 0), световое давле­ние Р₀ выражалось бы формулой (5.44). Так как при этом Е_Э = I, то мы можем записать

. (1)

Используя квантовые представления о природе света, выясним зависи­мость светового давления Р от угла падения φ. Исходя из определения давления и применив к зеркалу второй закон Ньютона, запишем

,

г де (Δmv)_n — проекция импульса Δmv, сообщенного фотонами за время Δt зер­калу, на направление нормали к нему; S — площадь освещенной поверхности. По закону сохранения импульса величина Δmv численно равна суммарному из­менению импульса Δр всех фотонов при их взаимодействии с зеркалом за время Δt. Следовательно,

. (2)

Величины S и (Δр)_n зависят от угла падения φ. Действительно, как это видно из рис. 1,

, (3)

где S₀ — площадь поперечного сечения светового пучка. На рис. 2 изображены суммарные импульсы фотонов, падающих на зеркало и отраженных от него (за время Δt): р и , так что

Δр = – р.

Отсюда, переходя к проекциям на направление нормали n к зеркалу и учитывая противоположные направления проекций и , запишем

_. (4)

Из (2) — (4) найдем

.

Так как Р = Р₀ при φ = 0, где давление Р₀ определяется формулой (1), то окон­чательно имеем

.

Выразим в единицах СИ входящие в формулу величины: I = 2,0·10³ Вт/м²,

С = 3,0·10⁸ м/с, ρ = 0,9, cos φ = 0,5.Выполнив вычисления, получим

Р = 3,2· Па.

Пример 25. Фотон с частотой ν₀ испущен с поверхности звезды, масса которой М и радиус r₀. Найти величину гравитационного смещения частоты фотона на очень большом расстоянии от звезды.

Р е ш е н и е. Выясним причину изменения частоты фотона при его удалении от звезды. Обладая электромагнитной энергией hν, фотон имеет связанную с ней массу m, определяемую формулой

. (1)

Поэтому в гравитационном поле звезды на него действует сила тяготения

, (2)

где r — расстояние от центра звезды до фотона. Так как эта сила направлена противоположно перемещению фотона, то она совершает отрицательную ра­боту, вследствие чего уменьшается его электромагнитная энергия (подобно тому, как из – за действия силы тяжести уменьшается кинетическая энергия брошенного вверх камня). Поскольку электромагнитная энергия фотона про­порциональна его частоте, то при удалении фотона от звезды его частота уменьшается.

По закону сохранения энергии, полная энергия фотона, равная сумме его электромагнитной энергии hν и потенциальной энергии тяготения, есть вели­чина постоянная. Однако для решения задачи нельзя воспользоваться формулой , т. к. она выведена для постоянных значений масс. Масса же фо­тона, как это видно из (1), уменьшается вместе с частотой при удалении от звезды. Поэтому учитывая соотношение (2), вычислим работу силы тяготения F, совершенную при элементарном перемещении dr фотона:

и приравняем ее, согласно закону сохранения, изменению электромагнитной энергии фотона: , т. е.

.

Отсюда, разделив переменные, получим

.

Так как при изменении расстояния r в заданных условием пределах от значения r₀ до ∞ частота меняется от ν₀ до ν, то

.

Интегрирование дает

, .

Отсюда найдем ответ:

.

Полученный результат — величина отрицательная при любых значениях М и r₀, что означает уменьшение частоты фотона (ν < ν₀).

П ример 26. Фотон рентгеновского излучения с энергией ε = 0,15 МэВ испытал рассеяние на покоившемся свободном электроне, в результате чего его длина волны увеличилась на Δλ = 0,015 . Найти угол φ, под которым вылетел комптоновский электрон отдачи.

Р е ш е н и е. Увеличение длины волны рентгеновских лучей при их рассеянии веществом (явление Комптона) объясняется упругим столкновением фотонов с электронами. При упругом ударе фотон в соответствии с законами сохранения передает свободному электрону часть импульса и энергии. Уменьшение энер­гии фотона означает уменьшение частоты рентгеновского излучения и увели­чение длины его волны.

П о закону сохранения импульса импульс р падающего фотона равен век­торной сумме импульса рассеянного фотона и импульса mv свободного элек­трона, который он приобрел в результате соударения с фотоном. Заметим, что угол рассеяния θ на рисунке можно определить из формулы Комптона (5.45). Следовательно, чтобы найти угол φ, необходимо знать еще два линей­ных элемента параллелограмма ОАВС, например р и . Проведя AD ОВ, имеем

, (1)

где, согласно (5.45),

, (2)

. (3)

Импульсы р и падающего и рассеянного фотонов связаны с их энер­гиями ε и соотношениями

, . (4)

Предварительно найдем энергию рассеянного фотона:

.

Следовательно, вместо второго равенства (4) имеем

. (5)

Подставив в (1) вместо величин cosθ, sinθ, p и их значения по форму­лам (2) — (5), после преобразований получим

.

После подстановки числовых значений величин: λ_с = 0,0242 , Δλ = 0,015 , ε = 0,15 МэВ, m₀c² = 0,511 МэВ — найдем:

tgφ = 1,15; φ = 49⁰.

ТАБЛИЦЫ ВАРИАНТОВ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 5

Вариант	Номера задач
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	510 501 502 503 504 505 506 507 508 509	520 511 512 513 514 515 516 517 518 519	530 521 522 523 524 525 526 527 528 529	540 531 532 533 534 535 536 537 538 539	550 541 542 543 544 545 546 547 548 549	560 551 552 553 554 555 556 557 558 559	570 561 562 563 564 565 566 567 568 569	580 571 572 573 574 575 576 577 578 579

501. Между стеклянной пластинкой и лежащей на ней плосковыпуклой линзой находится жидкость. Найти показатель преломления жидкости, если радиус r₃ третьего темного кольца Ньютона при наблюдении в отраженном свете с длиной волны λ = 0,6 мкм равен 0,82 мм. Радиус кривизны линзы R = 0,5 м.

502. На тонкую пленку в направлении нормали к ее поверхности падает монохроматический свет с длиной волны λ = 500 нм. Отраженный от нее свет максимально усилен вследствие интерференции. Определить минимальную толщину d_min пленки, если показатель преломления материала пленки n = 1,4.

503. Расстояние L от щелей до экрана в опыте Юнга равно 1 м. Определить расстояние между щелями, если на отрезке длиной l = 1 см укладывается N = 10 темных интерференционных полос. Длина волны λ = 0,7 мкм.

504. На стеклянную пластину положена выпуклой стороной плосковыпуклая линза. Сверху линза освещена монохроматическим светом длиной волны λ = 500 нм. Найти радиус R линзы, если радиус четвертого, темного кольца Ньютона в отраженном свете r₄ = 2 мм.

505. На тонкую глицериновую пленку толщиной d = 1,5 мкм нормально к ее поверхности падает белый свет. Определить длины волн λ лучей видимого участка спектра (0,4 ≤ λ ≤ 0,8 мкм), которые будут ослаблены в результате интерференции.

506. На стеклянную пластину нанесен тонкий слой прозрачного вещества с показателем преломления n = 1,3. Пластина освещена параллельным пучком монохроматического света с длиной волны λ = 640 нм, падающим на пластину нормально. Какую минимальную толщину d_min должен иметь слой, чтобы отраженный пучок имел наименьшую яркость?

507. На тонкий стеклянный клин падает нормально параллельный пучок света с длиной волны λ = 500 нм. Расстояние между соседними темными интерференционными полосами в отраженном свете b = 0,5 мм. Определить угол α между поверхностями клина. Показатель преломления стекла, из которого изготовлен клин, n = 1,6.

508. Плосковыпуклая стеклянная линза с фокусным расстоянием f = 1 м лежит выпуклой стороной на стеклянной пластине. Радиус пятого темного кольца Ньютона в отраженном свете r₅ = 1,1 мм. Определить длину световой волны λ.

509. Между двумя плоскопараллельными пластинами на расстоянии L = 10 см от границы их соприкосновения находится проволока диаметром d = 0,01 мм, образуя воздушный клин. Пластины освещаются нормально падающим монохроматическим светом (λ = 0,6 мкм). Определить ширину b интерференционных полос, наблюдаемых в отраженном свете.

510. Установка для наблюдения колец Ньютона освещается нормально падающим монохроматическим светом (λ = 590 нм). Радиус кривизны R линзы равен 5 см. Определить толщину d₃ воздушного промежутка в том месте, где в отраженном свете наблюдается третье светлое кольцо.

511. Какое наименьшее число N_min штрихов должна иметь дифракционная решетка, чтобы в спектре второго порядка можно было видеть раздельно две желтые линии натрия с длинами волн λ₁ = 589,0нм и λ₂ = 589,6 нм? Какова длина l решетки, если постоянная решетки d = 5 мкм?

512. На поверхность дифракционной решетки нормально к ее поверхности падает монохроматический свет. Постоянная решетки в n = 4,6 раза больше длины световой волны. Найти общее число М дифракционных максимумов, которые теоретически можно наблюдать в данном случае.

513. На дифракционную решетку падает нормально параллельный пучок белого света. Спектры третьего и четвертого порядка частично накладываются друг на друга. На какую длину волны в спектре четвертого порядка накладывается граница (λ = 780 нм) спектра третьего порядка?

514. На дифракционную решетку, содержащую n = 600 штрихов на миллиметр, падает нормально белый свет. Спектр проецируется помешенной вблизи решетки линзой на экран. Определить длину l спектра первого порядка на экране, если расстояние от линзы до экрана L = 1,2 м. Границы видимого спектра: λ_кр = 780 нм, λ_ф = 400 нм.

515. На грань кристалла каменной соли падает параллельный пучок рентгеновского излучения. Расстояние d между атомными плоскостями равно 280 пм. Под углом θ = 65⁰ к атомной плоскости наблюдается дифракционный максимум первого порядка. Определить длину волны λ рентгеновского излучения.

516. На непрозрачную пластину с узкой щелью падает нормально плоская монохроматическая световая волна (λ = 600 нм). Угол отклонения лучей, соответствующих второму дифракционному максимуму, φ = 20⁰. Определить ширину а щели.

517. На дифракционную решетку, содержащую n = 100 штрихов на 1 мм, нормально падает монохроматический свет. Зрительная труба спектрометра наведена на максимум второго порядка. Чтобы навести трубу на другой максимум того же порядка, ее нужно повернуть на угол Δφ = 16⁰. Определить длину волны λ света, падающего на решетку.

518. На дифракционную решетку падает нормально монохроматический свет (λ = 410 нм). Угол Δφ между направлениями на максимумы первого и второго порядков равен . Определить число n штрихов на 1 мм дифракционной решетки.

519. Постоянная дифракционной решетки в n раз больше длины световой волны монохроматического света, нормально падающего на ее поверхность. Определить угол α между двумя первыми симметричными дифракционными максимумами.

520. Расстояние между штрихами дифракционной решетки d = 4 мкм. На решетку нормально падает свет с длиной волны λ = 0,58 мкм. Максимум какого наибольшего порядка дает эта решетка?

521. Пластинку кварца толщиной d = 2 мм поместили между двумя николями, в результате чего плоскость поляризации монохроматического света повернулась на угол φ = 53⁰. Какой наименьшей толщины d_min следует взять пластинку, чтобы поле зрения поляриметра стало совершенно темным?

522. Параллельный пучок света переходит из глицерина в стекло так, что отраженный от границы раздела этих сред, оказывается максимально поляризованным. Определить угол γ между падающим и преломленным пучками.

523. Кварцевую пластинку поместили между скрещенными николями. При какой наименьшей толщине d_min пластинки поле зрения между николями будет максимально просветлено? Постоянная вращения α кварца равна .

524. При прохождении света через трубку длиной l₁ = 20 см, содержащую раствор сахара концентрацией С₁ = 10%, плоскость поляризации света повернулась на угол φ₁ = 13,3⁰. В другом растворе сахара, налитом в трубку длиной l₂ = 15 см плоскость поляризации повернулась на угол φ₂ = 5,2⁰. Определить концентрацию С₂ второго раствора.

525. Пучок света последовательно проходит через два николя, плоскости пропускания которых образуют между собой угол φ = 40⁰. Принимая, что коэффициент поглощения k каждого николя равен 0,15, найти, во сколько раз пучок света, выходящий из второго николя, ослаблен по сравнению с пучком, падающим на первый николь.

526. Угол падения ε луча на поверхность стекла равен 60⁰. При этом отраженный пучок света оказался максимально поляризованным. Определить угол преломления луча.

527. Угол α между плоскостями пропускания поляроидов равен 50⁰. Естественный свет, пройдя через такую систему, ослабляется в n = 8 раз. Пренебрегая потерями света при отражении, определить коэффициент поглощения k света в поляроидах.

528. Пучок света, идущий в стеклянном сосуде с глицерином, отражается от дна сосуда. При каком угле ε падения отраженный пучок света максимально поляризован?

529. Пучок света переходит из жидкости в стекло. Угол падения равен 60⁰, угол преломления . При каком угле падения ε_В пучок света, отраженный от границы раздела этих сред, будет максимально поляризован?

530. Пучок света падает на плоскопараллельную стеклянную пластину, нижняя поверхность которой находится в воде. При каком угле падения ε_В свет, отраженный от границы стекло — вода, будет максимально поляризован?

531. Частица движется со скоростью , где с — скорость света в вакууме. Какую долю энергии покоя составляет кинетическая энергия частицы?

532. Протон с кинетической энергией Т = 3 ГэВ при торможении потерял треть этой энергии. Определить во сколько раз изменился релятивистский импульс протона.

533. При какой скорости β (в долях скорости света) релятивистская масса любой частицы вещества в n = 3 раза больше массы покоя?

534. Определить отношение релятивистского импульса р электрона с кинетической энергией Т = 1,53 МэВ к комптоновскому импульсу m₀с электрона.

535. Скорость электрона v = 0,8 с (где с — скорость света в вакууме). Зная энергию покоя электрона в мегаэлектрон-вольтах, определить в тех единицах кинетическую энергию Т электрона.

536. Протон имеет импульс р = 469 ^. Какую кинетическую энергию необходимо дополнительно сообщить протону, чтобы его релятивистский импульс возрос вдвое?

537. Во сколько раз релятивистская масса m электрона, обладающего кинетической энергией Т = 1,53 МэВ, больше массы покоя m₀?

538. Какую скорость β (в долях скорости света) нужно сообщить частице, чтобы ее кинетическая энергия была равна удвоенной энергии покоя?

539. Релятивистский электрон имел импульс p₁ = m₀с. Определить конечный импульс этого электрона (в единицах m₀с), если его энергия увеличилась в n = 2 раза.

540. Релятивистский протон обладал кинетической энергией, равной энергии покоя. Определить, во сколько раз возрастет его кинетическая энергия, если его импульс увеличится в n = 2 раза.

541. Вычислить истинную температуру Т вольфрамовой раскаленной ленты, если радиационный пирометр показывает температуру Т_рад = 2,5 кК. Принять, что поглощательная способность для вольфрама не зависит от частоты излучения и равна a_i = 0,35.

542. Черное тело имеет температуру Т₁ = 500 К. Какова будет температура Т₂ тела, если в результате нагревания поток излучения увеличится в n = 2 раза?

543. Температура абсолютно черного тела Т = 2 кК. Определить длину волны _m, на которую приходится максимум энергии излучения, и спектральную плотность энергетической светимости (излучательности) (r_,T)_max для этой длины волны.

544. Определить температуру Т и энергетическую светимость (излучательность) R_e абсолютно черного тела, если максимум энергии излучения приходится на длину волны _m = 600 нм.

545. Из смотрового окошечка печи излучается поток _е = 4 . Определить температуру Т печи, если площадь окошечка S = 8 см².

546.Поток излучения абсолютно черного тела _е = 10 кВт. Максимум энергии излучения приходится на длину волны _m = 0,8 мкм. Определить площадь S излучающей поверхности.

547. Как и во сколько раз изменится поток излучения абсолютно черного тела, если максимум энергии излучения переместится с красной границы видимого спектра (_m1 = 780 нм) на фиолетовую (_m2 = 390 нм)?

548. Определить поглощательную способность а_Т серого тела, для которого температура, измеренная радиационным пирометром, Т_рад = 1,4 кК, тогда как истинная температура Т тела равна 3,2 кК.

549. Муфельная печь, потребляющая мощность Р = 1 кВт, имеет отверстие площадью S = 100 см². Определить долю  мощности, рассеиваемой стенками печи, если температура ее внутренней поверхности равна 1 кК.

550. Средняя энергетическая светимость R поверхности Земли равна .и Какова должна быть температура Т поверхности Земли, если условно считать, что она излучает как серое тело с коэффициентом черноты а_Т = 0,25?

551. Красная граница фотоэффекта для цинка ₀ = 310 нм. Определить максимальную кинетическую энергию Т_max фотоэлектронов в электрон-вольтах, если на цинк падает свет с длиной волны  = 200 нм.

552. На поверхность калия падает свет с длиной волны  = 150 нм. Определить максимальную кинетическую энергию Т_max фотоэлектронов.

553. Фотон с энергией  = 10 эВ падает на серебряную пластину и вызывает фотоэффект. Определить импульс р, полученный пластиной, если принять, что направления движения фотона и фотоэлектрона лежат на одной прямой, перпендикулярной поверхности пластины.

554. На фотоэлемент с катодом из лития падает свет с длиной волны  = 200 нм. Найти наименьшее значение задерживающей разности потенциалов U_min, которую нужно приложить к фотоэлементу, чтобы прекратить фототок.

555. Какова должна быть длина волны -излучения, падающего на платиновую пластину, чтобы максимальная скорость фотоэлектронов была ?

556. На металлическую пластину направлен пучок ультрафиолетового излучения ( = 0,25 мкм). Фототок прекращается при минимальной задерживающей разности потенциалов U_min = 0,96 В. Определить работу выхода А электронов из металла.

557. На поверхность металла падает монохроматический свет с длиной волны  = 0,1 мкм. Красная граница фотоэффекта ₀ = 0,3 мкм. Какая доля энергии фотона расходуется на сообщение электрону кинетической энергии?

558. На металл падает рентгеновское излучение с длиной волны  = 1 нм. Пренебрегая работой выхода, определить максимальную скорость v_max фотоэлектронов.

559. На металлическую пластину направлен монохроматический пучок света с частотой  = 7,3·10¹⁴ Гц. Красная граница ₀ фотоэффекта для данного материала равна 560 нм. Определить максимальную скорость v_max фотоэлектронов.

560. На цинковую пластину направлен монохроматический пучок света. Фототок прекращается при задерживающей разности потенциалов U = 1,5 В. Определить длину волны  света, падающего на пластину.

561. Фотон при эффекте Комптона на свободном электроне был рассеян на угол q = . Определить импульс р (в ), приобретенный электроном, если энергия фот она до рассеяния была ε₁ = 1,02 МэВ.

562. Рентгеновское излучение ( = 1 нм) рассеивается электронами, которые можно считать практически свободными. Определить максимальную длину волны _max рентгеновского излучения в рассеянном пучке.

563. Какая доля энергии фотона приходится при эффекте Комптона на электрон отдачи, если рассеяние фотона происходит на угол θ = ? Энергия фотона до рассеяния ε₁ = 0,51 МэВ.

564. Определить максимальное изменение длины волны (Δ)_max при комптоновском рассеянии света на свободных электронах и свободных протонах.

565. Фотон с длиной волны ₁ = 15 пм рассеялся на свободном электроне. Длина волны рассеянного фотона ₂ = 16 пм. Определить угол θ рассеяния.

566. Фотон с энергией ε₁ = 0,51 МэВ был рассеян при эффекте Комптона на свободном электроне на угол θ = 180⁰. Определить кинетическую энергию Т электрона отдачи.

567. В результате эффекта Комптона фотон с энергией ε₁ = 1,02 МэВ рассеян на свободных электронах на угол θ = 150⁰. Определить энергию ε₂ рассеянного фотона.

568. Определить угол θ, на который был рассеян квант с энергией ε₁ = 1,53 МэВ при эффекте Комптона, если кинетическая энергия электрона отдачи Т = 0,51 МэВ.

569. Фотон с энергией ε₁ = 0,51 МэВ при рассеянии на свободном электроне потерял половину своей энергии. Определить угол рассеяния θ.

570. Определить импульс р_е электрона отдачи, если фотон с энергией ε₁ = 1,53 МэВ в результате рассеяния на свободном электроне потерял своей энергии.

571. Определить энергетическую освещенность (облученность) Е_е зеркальной поверхности, если давление р, производимое излучением, равно 40 мкПа. Излучение падает нормально к поверхности.

572. Давление р света с длиной волны  = 40 нм, падающего нормально на черную поверхность, равно 2 нПа. Определить число N фотонов, падающих за время t = 10 с на площадь S = 1 мм² этой поверхности.

573. Определить коэффициент отражения ρ поверхности, если при энергетической освещенности Е_е = 120 Вт/м² давление р света на нее оказалось равным 0,5 мкПа.

574. Давление света, производимое на зеркальную поверхность, р = 5 мПа. Определить концентрацию n₀ фотонов вблизи поверхности, если длина волны света, падающего на поверхность  = 0,5 мкм.

575. На расстоянии r = 5 м от точечного монохроматического изотропного источника ( = 0,5 мкм) расположена площадка (S = 8 мм²) перпендикулярно падающим пучкам. Определить число N фотонов, ежесекундно падающих на площадку. Мощность излучения Р = 100 Вт.

576. На зеркальную поверхность под углом α = 60⁰ к нормали падает пучок монохроматического света ( = 590 нм). Плотность потока энергии светового пучка φ = 1 . Определить давление р, производимое светом на зеркальную поверхность.

577. Свет падает нормально на зеркальную поверхность, находящуюся на расстоянии r = 10 см от точечного изотропного излучателя. При какой мощности Р излучателя давление р на зеркальную поверхность будет равным 1 мПа?

578. Свет с длиной волны  = 600 нм нормально падает на зеркальную поверхность и производит на нее давление р = 4 мкПа. Определить число N фотонов, падающих за время t = 10 с на площадь S = 1 мм² этой поверхности.

579. На зеркальную поверхность площадью S = 6 см² падает нормально поток излучения _е = 0,8 Вт. Определить световое давление р и силу давления F света на эту поверхность.

580. Точечный источник монохроматического ( = 1 нм) излучения находится в центре сферической зачерненной колбы радиусом R = 10 см. Определить световое давление р, производимое на внутреннюю поверхность колбы, если мощность источника Р = 1 кВт.

П р и л о ж е н и я