4. Случайные события. Понятие вероятности

Случайным называется событие, которое при некоторых определенных условиях может произойти, а может и не произойти. Так, например, приход такси в определенный отрезок времени на стоянку является случайным событием. Вероятность числовая характеристика степени возможности наступления какого-либо определенного события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях. Часто численное значение вероятности находится с помощью классического определения вероятности: вероятность Р равна отношению числа исходов, "благоприятствующих" данному событию, к общему числу "равновозможных" исходов. В других ситуациях определение численного значения вероятности требует статистического подхода. Введем понятие частоты попадания для случая, когда в результате испытания могут иметь место одно из n "равновозможных" событий (следовательно, n – число повторных испытаний, осуществляющих заданные условия), причем только при испытаниях имеет место, интересующее нас событие (m – число испытаний в которых данное событие наступает). Частотой данного события называют отношение числа событий, благоприятствующих появлению данного события, к общему числу всех возможных событий. В данном случае частота, как правило, мало отличается от вероятности. Чем больше число n, тем реже встречаются сколько-либо значительные отклонения частоты от вероятности Р.

Пример 1. На стол бросается один раз игральная кость. Игральная кость представляет собой деревянный или костяной куб, на каждой грани которого нанесены соответственно 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков (меток). Какова вероятность того, что выпадет, то есть окажется наверху, чётное число очков? Всего граней шесть, то есть . Граней с четным числом очков три (грани с двумя, четырьмя и с шестью очками), т.е. , тогда . А какова вероятность того, что выпадет грань с тремя очками? Здесь, по-прежнему, , а (одна грань с тремя очками), поэтому .

Пример 2. В урне 10 одинаковых шаров. Из них 7 белых и 3 черных. Какова вероятность вынуть наугад белый шар? Здесь , , тогда . Какова вероятность вынуть красный шар? Здесь , (в урне нет красных шаров), тогда . Событие, вероятность которого равна нулю, называется практически невозможным.

Какова вероятность вынуть или белый или черный шар? Здесь и , тогда . Событие, вероятность которого равна единице, называется практически достоверным.

Итак, вероятность – это число, большее или равное нулю, но меньшее или равное единице, т.е. .

Вероятность может выражаться в процентах. Понятие вероятности применимо не только для простейшей схемы случайных событий, рассмотренной выше, но и для более сложных случаев. Так, например, можно говорить о вероятности того, что ошибки измерения заключается в данном интервале и т.д. Cо случайной величиной ξ связана некоторая функция f(x), называемая функцией плотности, такая, что величина f(x)dx пропорциональна вероятности события, состоящего в том, что величина ξ заключена в интервале x ÷ x+dx.

В результате измерений некоторой величины можно найти оценку значения μ, вычислив по формуле (2) приведенной в п.6.2. Такая оценка называется точечной. Знание только одной точечной оценки дает мало представления о величине μ. Если еще вычислить по формуле (4) также приведенной в п.6.4, то можно предполагать, как сильно величина μ может отличаться от . Однако предпочтительнее более точная количественная характеристика того, как сильно μ может отличаться от . Такой характеристикой может служить интервал, для которого известно, с какой вероятностью значение μ может находиться внутри этого интервала. Из имеющихся в нашем распоряжении величин и (или и , см. п.7.5) можно построить интервал вида (*), где К_α – положительное число, зависящее от параметра α. Утверждение о том, что неизвестное значение μ заключено внутри данного интервала называют статистической гипотезой. Допустим, нам удалось вычислить, что вероятность того, что μ заключено внутри указанного выше интервала, равна α. Выберем произвольно некоторое число α_о = 1– ε, где ε – малое положительное число. Тогда в качестве критерия, справедливости или ошибочности статистической гипотезы, можно использовать следующее неравенство:

. (1)

Если неравенство выполняется, то мы должны принять гипотезу, а если нет, то отвергнуть. Критерий (1) называется критерием значимости гипотезы, а число α_о, которое выступает в роли предельной вероятности, называется уровнем значимости критерия. Величины α и α_о можно выражать в долях единицы или в процентах. Если величина α_о выражена в процентах, то она называется α_о-процентным уровнем значимости. Величину α_о называют также коэффициентом доверия, или просто вероятностью, а интервал (*) – доверительным интервалом. Доверительный интервал – статистическая оценка параметра вероятностного распределения, имеющая вид интервала, границами которого служат функции от результатов наблюдений и который с высокой вероятностью "накрывает" неизвестное значение параметра.

Конкретные значения α_о выбираются в условиях работы в лабораториях физического практикума из условия

.